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el baricentro se obtendrá considerando el de dos en la forma dicha, 

 y luego este punto (?, de masa (x, + x t ) que divide á A 2 — A í en la 



razón 2 , se compone conx,.^, para obtener el punto G. Como 



x, 



x t (A, -G) + x, (A 2 -G) + x 3 (;A 3 -G) = 0, 



vemos que el punto G está en el plano A l A 1 A 3) como también re- 

 sulta de su construcción. Si los tres puntos están en una recta, su 

 baricentro está en la misma recta; si además de estar en línea 

 recta x¡ + x¡¡ + x 3 = 0, uno cualquiera de los puntos es baricen- 

 tro del sistema de los otros dos. 



De un modo análogo podríamos construir el baricentro de una 

 formación cualquiera, hallando el G í de masa x i -f- x. 2 , que divide 



x 

 al vector A, — A, en la razón — — ; después el (?, de masa 



x, 



oc 



x \ + x i + x 9t q ue divide á A 3 — G { en la razón -J^ — ; y así 



X^ ~\~ X.¿ 



sucesivamente hasta considerar todos los elementos de la forma- 

 ción. Como vemos que la suma de formaciones es conmutativa y 

 asociativa, el orden de composición de sus elementos es indiferen- 

 te, y también se podrán substituir algunos de ellos por su baricen- 

 tro. 



Cuando los puntos de la formación están en una recta ó plano, 

 el baricentro pertenecerá á esa recta ó plano. Si además Ex = 0, 

 la formación equivale á un vector paralelo á esa recta ó plano, 

 porque llamando G al baricentro de n — 1 puntos, será 



: Ex. A. =¿(ar, +'X t + + X )G + x A =x (A - G). 



l l vil -¡i i n— V ' tí » n v n 



Para el caso de ser la formación nula y Ex. = 0, uno cualquiera 



de los puntos será baricentro del sistema formado por los demás. 



Ejercicios. — 1.° La recta que une los puntos medios de dos 

 lados de un triángulo ABC es paralela al tercero é igual d su 

 mitad. 



Sean M, N los puntos medios deS -iy C-i, tendremos 



2M=A\B, 2N = A+C; 

 y por consiguiente, 



2{N—M) = C— B, 



según queríamos demostrar. 



2° El centro de distancias medias de un triángulo es el pun- 

 to común á sus medianas. 



Sea G ese centro y será 



A + B + C=3G, 



