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 pero 



¿+ JB + c-A±2»+£-j l +*é±£-c+ a é±g-¡¡ ¡ 



, , „ SfC A+C A + B 



lo cual nos demuestra el teorema, porque — - — , — ¿¡ — , — - — 



son los puntos medios de los lados opuestos á A, B, C. Se ve ade- 

 más que divide á cada mediana en la relación de 1 á2. Y también 

 por ser 



B+C 



resulta que, el triángulo formado por los puntos medios tiene 

 el mismo baricentro. 



3.° Las bisectrices de un triángulo dividen al lado opuesto 

 en partes proporcionales á las longitudes de los lados adya- 

 centes. 



Sean a, b, c las longitudes ó módulos de los lados C — B, A — C, 



B — A, de los lados del triángulo. La suma ó diferencia de los 



• . A- C B—A 

 vectores unitarios — ; — , tendrán las direcciones de las 



b C 



bisectrices del ángulo A. Por consiguiente, siendo x un número 

 real cualquiera 



IB— A C — A\ /„ x _ x\ t , x _, x _ 



representa los puntos de esas bisectrices. Ese punto se encontrará 

 en el lado BC, cuando el coeficiente de A es nulo, es decir, cuan- 

 do sea 



(b+c)x = bc ó bien — B + ^- C= — — [bB + cC). 



K ~ . c _ ~ b b ±c K - 



Esto nos prueba que los puntos de los bisectrices del ángulo A si- 

 tuadas en el lado BC, son baricentros de las formaciones bB± cC, 



es decir, dividen á ese lado en las razones + -r, según queríamos 



demostrar. 



Llamando A' B' C los puntos en que las bisectrices interiores 

 encuentran á los lados opuestos, será 



{b + c)A' = bB + cC\ {c + a)B' = cC+aA; (fl+6) C' = aA+bB, 



y por tanto 



a A + bB+cC = aA+(b + c)A' = bB + (c+a) B' = cC+(a + b) C"; 



lo que nos prueba que las bisectrices interiores se encuentran en 

 el baricentro de la formación aA-\- bB -\- cC. Del mismo modo 



