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veríamos que los centros de los círculos ex-inscritos, son baricen- 

 tros de la formación que resulta de cambiar en la anterior el sig- 

 no de una de las cantidades escalares a, b, c. 



4.° Las rectas que unen los puntos medios de los lados 

 opuestos y de las diagonales de un cuadrilátero (plano ó no pla- 

 no) se bisecan mutuamente. 



En efecto, llamemos G el centro de distancias medias, ó sea 



A + B-\- C+ D = 4G; 

 y tendremos 



= 2 é±£ +2 £±£ = 2 b±£ +2 ±±£ , 4C . 



Si los cuatro puntos A, B, C, D fuesen vértices de un tetraedro; 

 observando que 



A + B+ C + B = 3±+^ + B = 3±±§±£ + C = 46?, 



tendremos que: las rectas que unen los vértices de un tetraedro 

 con los baricentros de las caras opuestas concurren en un punto, 

 que biseca las rectas que unen los puntos medios de los pares de 

 aristas opuestas. Este punto es el que se suele denominar baricen- 

 tro del tetraedro. 



5. Si en los lados de un polígono A t A 2 A 3 A se toman 



puntos B¡, B. 2 B tales que 



ó bien 



A { B, 



A.B, 



A, A, 



A.¡A 3 



A,B K 



A 2 B 2 



A t B t 



A 3 B. Z 



*•; 



= k\ 



los polígonos A l A i A 3 A y B,B ¿ B 3 B tienen el mis- 

 mo centro de distancias medias. 

 En efecto, se verificará que 



B-A i = k{A-A l ),B i -A, = k(A 3 -A. 2 ) B-A=li{A-A¿, 



ó bien 



B-A Y =k{B x -A¿, B t -A 2 =k(B 2 -A 3 ) B- A=k{B n - A,); 



