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O de otro modo, si ponemos 



Pa. 



r = * (a) 4- — + r , 



cp(a) = <p(a f -2%) =-<¡>(a). (1) 



Claro está que existen infinidad de funciones periódicas que 

 cumplen estas condiciones. Las circulares é hiperbólicas sen a, 

 tg a, S/?a, 77/a; combinaciones hechas con ellos y constantes cua- 

 lesquiera, etc., etc. 



En general, cualquier función periódica y = F (x), después de 

 transformada convenientemente la variable, verifica las relacio- 

 nes (1). En efecto; si para un valor particular x = x¡, v, = FixJ, 



P 

 y ponemos x = a ^ — \- x¡ la función p 



¿TI 



es de la naturaleza deseada, según se ve fácilmente. 



Nos limitamos á resolver el caso más sencillo; el en que la fun- 

 ción <p (a) sea idénticamente nula. No ofrece dificultad el plantear 

 la integral que da la longitud pedida, en el caso general; pero la 

 integración no se podrá casi nunca llevar á cabo, excepto en el 

 caso indicado. 



Sea por consiguiente 



r = rr * + r n , 



¿Tí 



y escribiendo 8 simplemente en vez de 8 , sin olvidar que es cons- 

 tante, obtenemos: 



ds* = r 2 sen* 6 da? + dr'- = ff- -\-r* sen 2 H- — <*+ -^ a 2 sen 2 f/W; 



|_4~" -k 4tc J 



llamando S á la longitud pedida, y poniendo 



1 ir 2 it 2 



sen 2 6 ' p 2 ' 



será 



i 

 £ senO /- 2raU , , . 4irr , ,7, 



2tc .'o £ 



Obteniendo esta integral por los procedimientos ordinarios, 

 por ejemplo, haciendo el cambio de variable dado por la relación 



¿ + ^ a + a * = (, + ^ + 



