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doy para substituir en cualquiera de las primeras, resulta: 



4 v 2 (2x -f r — 2a) (2x — r) + (2.r -f r — af {2x - rf = . (3) 



El lugar 2x — r = que aparece incluido en esta ecuación es 

 extraño, y era fácil prever su aparición; pues, aunque en general 

 la multiplicación por 4y' hecha para pasar de (1) á (2) no debiera 

 introducir soluciones extrañas en la resultante, en este caso suce- 

 ce lo contrario por admitir el sistema 



{x' - af - (r - af = (4) 



solución 2x — r = 0, factor que es el que aparece como extraño 

 en (3). 



Desechando este lugar, queda para ecuación del pedido 



4y- (2x + r — 2a) -f {2x + r - af (2x - r) = 0. (5) 



que representa una cúbica simétrica respecto del eje x\ simetría 

 por otra parte evidente, observando la de los datos. 



Casos particulares.— \. Supongamos primero que A describe 

 el mismo círculo O. La ecuación (5) se convierte para a — 0, en 



4jy 2 {2x + r) + [2x + rf {2x - r) = (6) 



r~ 

 que representa, además del círculo x 2 -\- y 2 = -¡-, el lugar extra- 

 ño 2x -\-r = cuya aparición debía esperarse pues haciendo «=0 



r 

 en (4), existe la nueva solución x = — — . 



No ofrece otro interés sino éste la consideración del presente 

 caso; pues siendo el triángulo ABC rectángulo y, por tanto, el 

 centro del círculo de Euler el punto medio de la mediana AO, de 

 antemano se conocía el lugar descrito. 



Volviendo al caso general, se ve que la curva corta al eje x en 



r a — r 



los puntos x = — , x = — - — , délos cuales éste es doble. Tomán- 

 dolo para origen sin cambiar el eje x, la ecuación se transforma en 



(¿tf + y') (x-^ = x\ (r - a) (7) 



que representa una concoide de Slusse (*); la que corresponde á 



(*) V. p. ej : cCurvas especiales nolableso. — F Gomes Texeira.— Memoria premiada por 

 la R. A. de Ciencias.— 1903. págs. 13 y 15. 



