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Apuntes para la teoría geométrica de las líneas cíclicas de 4,° orden 



El presente trabajo comienza con unos preliminares en que se 

 definen las cíclicas (1) é indican algunas de las más importantes, 

 dividiéndose después en dos capítulos. Es el primero «Generación 

 y clasificación de las cíclicas y haces cíclicos de planos de cuarta 

 clase»; extrañará que, tratándose de curvas, considere también 

 los haces de planos correlativos con ellas, pero guiado por la sim- 

 patía que me produce la correlación, no he podido menos de ha- 

 cerlo mientras me ha sido posible. Divido este capítulo en cinco 

 artículos; en el primero y segundo, siguiendo el camino trazado 

 por U. Eduardo Torroja en su Teoría Geométrica de Líneas ala- 

 beadas y superficies desarrolladles, á cuya obra se refieren todas 

 las citas, he clasificado las cíclicas; en el tercer artículo, suponien- 

 do definida la línea como intersección de una cuádrica con una es- 

 fera, reduzco su construcción á la intersección de dos superficies 

 cónicas, ó de una de estas con la esfera, llegando en esta parte 

 por la consideración de las esferas bitangentes á la cíclica y por 

 la de los complejos de esferas, á definir aquella como intersección 

 de una cíclida con la esfera propuesta, relacionando también de 

 este modo la cíclica con la teoría de las cíclidas; ocúpase el artícu- 

 lo cuarto en la generación y representación de las cíclicas sobre 

 la superficie esférica que las contiene, habiendo seguido en todo 

 él la teoría expuesta por Darboux en su Memoria Sur une classe 

 remarquable de courbes et de surfaces algébriques, aplicada á la 

 clasificación hecha en el artículo primero, y, por último el quinto 

 artículo, trata de las cartesianas correspondientes al caso de ser 

 de revolución todas las cuádricas del haz definido por la cíclica. 



El segundo capítulo, que divido en tres artículos, tiene por ob- 

 jeto el estudio de las propiedades focales. En el primer artículo, 

 después de definir los focos de una curva alabeada, paso á estudiar 

 el lugar geométrico de estos puntos, dando en ello preferencia á los 

 reales, pues aunque hubiera deseado detallar algo más sobre los 

 imaginarios, he encontrado á veces dificultades para mí insupera- 



(1) Entiéndase en todo lo que sigue que solo nos referimos á las de cuarto orden. 



