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PRELIMINARES 



1. — Designaremos con el nombre de cíclicas de cuarto orden á 

 las cuárticas que contienen cuatro puntos comunes con el círculo 

 normal ó curva esférica del infinito. 



Por una de estas cuárticas alabeadas pasarán infinitas superfi- 

 cies de segundo orden que constituirán un haz de cuádricas; por 

 tener la citada línea cuatro puntos cíclicos, todas esas cuádricas 

 tendrán sus planos cíclicos paralelos, y, por tanto, también serán 

 paralelos sus planos principales y ejes. 



Sus centros, constituyen una cúbica alabeada, una cónica pla- 

 na, están en línea recta ó son todas concéntricas, según que no 

 exista ningún cilindro doblemente proyectante de la cíclica ó exis- 

 ta uno, dos ó tres; y los ejes de estas superficies constituyen en 

 general tres superficies cilindricas de segundo orden; puesto que 

 son tres sistemas de rectas tales, que las del mismo son polares 

 de una orientación, y, las polares de una recta son generatrices 

 de un haz radiado cuando existe un punto conjugado con ella, lo 

 cual ocurre en este caso, pues el punto del infinito de un eje tiene 

 por recta conjugada la orientación de planos perpendiculares al 

 mismo. 



Resulta de aquí, que los tres sistemas de ejes están en tres ci- 

 lindros hiperbólicos, ya que la cúbica alabeada tiene tres puntos 

 en el infinito, pues sabemos que todo plano es tangente á tres cuá- 

 dricas del haz, y, por tanto, existirán tres paraboloides en el haz 

 definido por (S), siendo los puntos de contacto de éstos con el pla- 

 no del infinito los citados tres puntos de la cúbica, correspondien- 

 tes uno á la dirección de cada eje. 



Entre las citadas cuádricas existe una esfera que es la que 

 pasa por el círculo normal, puesto que dicha línea pertenece al 

 haz de cónicas en el infinito definida por los cuatro puntos cícli- 

 cos, y por cada cónica pasa una sola cuádrica del citado haz. 



Según esto, podremos definir las cíclicas como líneas de inter- 

 sección de una esfera con una superficie de segundo orden. 



2. — Entre las cíclicas alabeadas, figuran las cónicas esféricas, 

 ventana de Viviani, curvas empleadas por M. William Roberts 

 para la representación de las funciones elípticas, cartesianas, ca- 

 sínicas esféricas y otras. 



