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Podría aún la cíclica estar 

 constituida por un círculo do- 

 ble, siendo en este caso de re- 

 volución todas las cuádricas 

 del haz y circunscritas á lo 

 largo de dicho círculo doble. 



Nosotros estudiaremos solo los casos en que 



Si las dos superficies cónicas 

 se confunden en una, todas 

 las cuádricas de la serie serán 

 de revolución y su eje será el 

 de aquella superficie cónica. 



la línea cíclica es alabeada 

 prescindiendo de los enumera- 

 dos anteriormente. 



el haz de planos de cuarta cla- 

 se no se compone de dos ra- 

 diados. 



En estos casos, la esfera no podrá ser tangente en más de un 



J correspon- 

 diendo éstas | Sonables í á Ios S ru P° s 20 ' 21 y 22 ( £ - A - Ca P' tu - 

 lo X, artículo II). 



5.— En el vigésimo grupo, no existe ningún punto de contacto de 

 la esfera con la cuádrica, existiendo por lo menos un punto real 

 V¡ con un mismo plano polar t, que no pasará por aquel punto. 

 (L. A. n.° 240). 



El plano s, cortará á las dos 

 superficies, según una circun- 

 ferencia <J t y una cónica 'F que 

 no podrán ser tangentes, pues- 

 to que si tuviesen un punto de 

 contacto, la polar de la tan- 

 gente común respecto de cada 

 cuádrica, sería la proyectante 

 de dicho punto desde V s \ y 

 estas dos rectas polares deter- 

 minarían el mismo plano tan- 

 gente en el punto de contacto 

 de aquellas cónicas, es decir, 

 que la esfera y la otra superfi- 

 cie serían tangentes, contra el 

 supuesto. 



La circunferencia <¡ í y la có- 

 nica *F determinarán un cua- 

 drivértice MNPQ inscrito en 

 ambas, real ó imaginario; sien- 

 do autopolar respecto de cada 

 una de ellas, el triángulo V 2 V 3 

 V A de los puntos diagonales; y, 



El punto V i será vértice de 

 dos superficies cónicas, una de 

 revolución circunscrita á la 

 esfera y otra á la cuádrica, no 

 pudiendo tener aquéllas un 

 plano tangente común, con 

 una generatriz de contacto co- 

 mún; pues las dos rectas pola- 

 res de dicha generatriz debe- 

 rían estar contenidas en el 

 expresado plano tangente y, 

 además, en el plano <s i ; luego, 

 se confundirían ambas en una 

 y las dos superficies tendrían 

 un mismo plano tangente con 

 un mismo punto de contacto, 

 contra el supuesto. 



Las dos superficies cónicas 

 tendrán, pues, cuatro planos 

 tangentes comunes, reales ó 

 imaginarios que constituirán 

 un ángulo tetraedro MNPQ 

 circunscrito á ambas; siendo 

 autopolar respecto de cada 



