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por tanto, el tetraedro V l V 2 

 V 3 V Í determinado por ese 

 triángulo y el V t será auto- 

 polar 



una de ellas el triedro de los 

 planos diagonales, y, por tan- 

 to, el tetraedro <r t c 2 c 3 c 4 deter- 



minado por dicho ángulo trie- 

 dro <r s <r 3 <r 4 y el plano a¡ será 

 autopolar 



respecto de las dos superficies; pero como una de ellas es una es- 

 fera, dicho tetraedro tendrá sus aristas opuestas ortogonales. 



El citado cuadrivértice MN 

 PQ podrá tener sus cuatro 

 vértices reales; en cuyo caso 

 el triángulo polar así como el 

 tetraedro, tendrán reales to- 

 dos sus elementos; existiendo 

 cuatro conos reales doblemen- 

 te proyectantes de la cíclica 

 desde cada vértice del tetrae- 

 dro y cuatro líneas dobles de 

 la desarrollable circunscrita á 

 lo largo de la cíclica sobre 

 cada cara real del mismo, sien- 

 do estas líneas dobles <?' pola- 

 res de las directrices ¡p de los 

 conos respecto de los círcu- 

 los (T. 



Si los puntos comunes al cír- 

 culo y á la cónica fuesen ima- 

 ginarios, el triángulo, así como 

 el tetraedro autopolar, tendría 

 reales sus elementos, pero dos 

 de los cuatro conos serían 

 reales y otros dos imaginarios, 

 siendo la cíclica, también ima- 

 ginaria. 



Cuando dos de los puntos 

 comunes sean reales y los 

 otros dos imaginarios conju- 

 gados, el triángulo polar ten- 

 drá un vértice real y dos ima- 



El citado ángulo tetraedro 

 podrá tener sus cuatro caras 

 reales, en cuyo caso el triedro 

 autopolar tendrá reales todos 

 sus elementos así como el te- 

 traedro que con dicho triedro 

 determina el plano <7,; exis- 

 tiendo en este caso cuatro có- 

 nicas dobles de la desarrolla- 

 ble, contenidas una en cada 

 una de las caras de dicho te- 

 traedro; y proyectándose la 

 cíclica de contacto con la esfe- 

 ra desde los vértices según 

 superficies cónicas de segundo 

 orden, polares de las proyec- 

 tantes de aquellas cónicas do- 

 bles, respecto de las de revolu- 

 ción circunscritas á la esfera 

 del mismo vértice. 



Si los planos tangentes co- 

 munes á los dos conos fuesen 

 todos imaginarios, el ángulo 

 triedro de los planos diagona- 

 les, así como el tetraedro au- 

 topolar, tendría reales sus ele- 

 mentos, pero la desarrollable 

 sería imaginaria, presentando 

 dos líneas dobles reales; caso 

 análogo al de las cuádricas 

 homofocales. 



Cuando dos de los planos 

 tangentes comunes sean rea- 

 les y los otros dos imaginarios 

 conjugados, el ángulo triedro 

 tendrá dos caras imaginarias 



