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conjugadas y una real, y el 

 tetraedro tendrá reales dos 

 aristas opuestas así como los 

 dos vértices determinados por 

 cada cara real y las dos imagi- 

 narias; existiendo dos cónicas 

 dobles también reales, así co- 

 mo dos superficies cónicas 

 proyectantes de la cíclica de 

 contacto. 



ginarios conjugados, y el te- 

 traedro, tendrá reales dos aris- 

 tas opuestas, así como las dos 

 caras determinadas por cada 

 vértice real y los dos imagina- 

 rios; existiendo, en este caso, 

 dos conos reales de segundo 

 orden doblemente proyectan- 

 tes de la cíclica. La desarro- 

 llaba á lo largo de la misma, 

 tendrá dos cónicas dobles rea- 

 les, una sobre cada cara real 

 del tetraedro. 



6.— Si la esfera y la otra cuádrica tienen un solo plano tangente 

 común o, con el mismo punto de contacto V { , en el plano <r, habrá un 

 triángulo y i V í¡ V 3 dos de cuyos lados pasan por V¡ y son polares 

 uno de otro, y el tercero V i V 3 tiene una polar V i V i que corta á 

 dicho plano <s i en V it y, por tanto, sus vértices V t , V 2 y V 3 tienen 

 los planos polares respectivos o 1 , V l V, t V 3 , V t F, V., ; ó bien hay en 

 él solo dos rectas polares V x V¡¡ y V t V 3 que pasan por V¡ y en una 

 de ellas V t V 3 otro punto V 3 con un plano polar distinto de n, que 

 pasa por la otra recta F, V.-,; lo cual da origen á los dos grupos 

 21 y 22 de haces y series de cuádricas. 



En el 21 hay tres superficies 

 cónicas de vértices V t , V it V 3 , 

 siendo las dos últimas tangen- 

 tes al plano <?, á lo largo de 

 V-2 Vi Y ^3 Vi mientras que la de 

 vértice V, corta á dicho plano 

 a, según dos generatrices del 

 cono, que están armónicamen- 

 te separadas por las dos rec- 

 tas V x V % y V i V 3 , siendo esas 

 mismas generatrices tangen- 

 tes á la cuártica base del haz 

 en el punto doble V t . 



El grupo 22 corresponde al 

 segundo de los dos casos cita- 

 dos y en él hay solo dos super- 

 ficies cónicas de segundo orden 

 de vértice F, y V a tangentes 

 ambas al plano a u siendo gene- 

 ratriz de contacto de la prime- 

 ra la tangente á la cuártica 



En el 21 hay tres cónicas si- 

 tuadas en los planos s, , <r 2 y <¡ a , 

 pasando las dos últimas cóni- 

 cas por V^ y también por este 

 mismo punto dos tangentes á 

 la primera, armónicamente 

 separadas por los planos de 

 aquéllas, ó sea por las rectas 

 V l F¡ y F, V 3 cuyas tangentes 

 son generatrices de la des- 

 arrollare, situadas en planos,. 



El 22 corresponde al segun- 

 do caso y en él hay solo dos 

 secciones cónicas, una en el <s i 

 y la otra en el * 3 polar del 

 V 3 ; ambas pasan por V¡ , siendo 

 la tangente á la primera la ge- 

 neratriz de la desarrollable 

 base de la serie, relativa al 



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