171 



los dos ángulos diedros cir- 

 cunscritos á dos de los conos 

 doblemente proyectantes. 



9. — a) Cíclicas imagina- 

 rias. 



Se obtienen cuando los dos 

 ángulos diedros en que están 

 inscritos dos de los cuatro co- 

 nos de segundo orden doble- 

 mente proyectantes, son exte- 

 riores uno á otro. 



Todo plano que pase por la 

 recta V X V^ definida por dos 

 vértices del tetraedro autopo- 

 lar común y de los conos, cor- 

 tará á uno de estos, el V,¡p, por 

 ejemplo* según dos generatri- 

 ces reales />, y q K \ al otro V^. 2 , 

 según dos imaginarías; estos 

 dos pares determinarán un 

 cuadrilátero completo que ten- 

 drá los vértices reales í 7 ,, V t , y 

 otros cuatro imaginarios que 

 serán puntos de la cíclica. Ca- 

 da generatriz real />, cortará 

 á las dos imaginarias en los 

 puntos dobles de la involución 

 de conjugados respecto de la 

 superficie F 3 <p 2 contenidos en 

 la recta />,. Esta involución 

 podrá determinarse por medio 

 de la superficie cónica conju- 

 gada con la Fjtps respecto de 

 la arista V. 2 V i y de su plano 

 polar que es el ts t , puesto que 

 ésta superficie cónica cortará 

 á aquella generatriz p 2 en un 

 par de puntos, que con el V t y 

 el contenido en el t, nos defini- 

 rán la citada involución. 



ma de los del segmento común 

 á los dos segmentos exteriores 

 determinados por dos de las 

 cónicas dobles en la recta de 

 intersección de sus planos. 



a) Has cíclico de planos de 

 cuarta clase imaginario. 



Se obtiene cuando los seg- 

 mentos exteriores á cada una 

 de dos cónicas, determinados 

 por las mismas en la recta de 

 intersección de sus planos, son 

 exteriores uno á otro. 



Por todo punto tomado en la 

 recta <r,<T 2 definida por los pla- 

 nos de ambas cónicas, pasarán 

 dos tangentes reales p t y q x á 

 una de ellas (la ®\ por ejem- 

 plo), y otros dos imaginarios á 

 la otra tp' 2) cuyos dos pares 

 determinarán un cuadriarista 

 completo que tendrá por caras 

 la i, y Hj, reales, y otras cua- 

 tro imaginarias, que serán ra- 

 yos del haz tangencial de pla- 

 nos. Cada tangente real/),, de- 

 terminará con las dos imagi- 

 narias dos planos, que serán 

 rayos dobles de la involución 

 de los conjugados respecto de 

 la otra cónica ?,' y cuya arista 

 es la/?,. Dicha involución po- 

 drá determinarse por medio 

 de la cónica conjugada de la 

 <p 2 ' respecto de la recta a,<7 2 y 

 de su polo que es el V i . 



Los'pares de tangentes á la 

 cónica conjugada de la tp 2 ' res- 

 pecto de aquellos elementos, 

 determinarán con la tangente 

 p t á la cp,' un par de planos, 

 que con el <j, y el proyectante 

 de V¡ definen la citada involu- 

 ción. 



