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UN TEOREMA SOBRE US PROPORCIONES (1) . 



Teorema. En toda serie de rasones iguales entre números na- 

 turales, el i m i n i mo comúitipio \ "^ tos anieceaentes es al ¡ m í n i m0 comúitipio 

 de los consecuentes, como un antecedente cualquiera es á su con- 

 secuente. 



Demostración. Sea la serie 



a l a., a 3 a n p 



b, ~ b 2 b 3 ~~ ~~ b n q ' 



donde p, q , a., b. (i = 1,2, 3, n) , son números naturales. 



Tendremos las n igualdades 



qa. = pb.; 



el máximo codivisor de sus primeros miembros ha de ser igual al 

 de los segundos miembros; luego, si a es el máximo codivisor de 

 los a., y & el de los b.\ como el de los primeros miembros es q a, 

 y el de los segundos miembros es p b, tendremos 



a P 



q a = pb, ó sea — = — •- 



b q 



Si ahora ponemos 



a . —r .a, b. = s.b; 



puesto que 



a. a 



~b. = ~b' 



i 



resultará r. = s.. 



Llamando finalmente A, B , R, S, respectivamente, á los mí- 

 nimo comúltiplos de los a., b., r., s.; tendremos 



A = Ra, B = Sb; 



mas, como para todos los valores de i, era r. = s., será tam- 

 bién R = S, y en consecuencia 



A _a _ p 

 ~B~~b~"q 

 Por la traducción, J- L. CoOLIDGE. 



J. Rius y Casas. 



(1) Tomado de Annals of Mathematics (2), IX, p. 181, julio 1908. 



