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La arista V^V i será interior 

 á V s <p 2 por ser la polar del pla- 

 no <s 3 = y 2 y, y 4 respecto del 

 cono Y 2 cp. 2 ; luego la cara a 4 = 

 ^2 ^3^1 1 que es la exterior á la 

 esfera, cortará á y 2 tp 2 según 

 dos generatrices reales y á las 

 otras dos V 3 <b 3 y y,?, según 

 dos pares de imaginarias. Co- 

 mo consecuencia de esto dedu- 

 cimos que la superficie cónica 

 V a <p 2 contendrá parte útil y 

 parte parásita, puesto que en 

 ella existirán generatrices sin 

 puntos reales de la cíclica. 



13.— Veamos á que apartado 

 pertenece el grupo de los dos 

 conos y 2 <p 2 y y 4 cp 4 ; para ello 

 tracemos desde la recta V^Vf 

 los planos tangentes al cono 

 y¡ tp 4 que serán tangentes á la 

 cíclica en puntos reales, pues- 

 to que el cono y¡ <¡> 4 sabemos 

 que no tiene parte parásita; 

 tracemos análogamente, des- 

 de la misma recta, los planos 



Este punto también será inte- 

 rior á la cónica cp' 2) puesto que 

 las tangentes trazadas desde 

 él á la misma hemos dicho que 

 son imaginarias; pero existe 

 una diferencia entre los dos 

 planos tangentes á S trazados 

 por una tangente á tp' 4 y el par 

 trazado por otra tangente á <p' a 

 y es, que aquellos están sepa- 

 rados por el plano <j. mientras 

 que estos no lo están por el s s . 



El lado V¡V i opuesto al vér- 

 tice y 3 en el triángulo V a V i y¡ 

 y contenido en la cara <r 2 será 

 exterior á la cónica i¡\ ; luego 

 por el vértice y 4 = e a a 3 t, que 

 será interior á la esfera por ser 

 opuesto á la cara *¡ exterior á 

 la misma, pasarán dos tangen- 

 tes reales á »' a ; por el contra- 

 rio, ese mismo punto y¡ tendrá 

 que ser interior á »', y a>' 3) 

 puesto que por él no pasan 

 planos tangentes reales á S; de 

 modo que las tangentes á estas 

 curvas trazadas por aquel 

 punto serán imaginarias. De- 

 dúcese de lo anterior, que la 

 cónica tp', tiene parte útil y 

 parte parásita, puesto que 

 existen tangentes á la misma 

 que cortan á la esfera. 



Veamos á que apartado per- 

 tenecen las cónicas <¡>' 2 y <p' 4 ; 

 observemos para ello que la 

 arista <r 3 <j 4 = V { V 3 cortará la <p' 4 

 en dos puntos pertenecientes á 

 dos planos reales del haz cícli- 

 co puesto que <p' 4 no tiene par- 

 te parásita; la misma arista 

 cortará á la cónica ?' 2 en otros 

 dos puntos que no podrán con- 

 fundirse con los anteriores ni 



