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sustituyen por direcciones; 

 tendremos, por consiguiente, 

 tres variedades, según que es- 

 tos sean 1, 2 ó 3. 



En todos los casos, subsisti- 

 rá el vértice interior que he- 

 mos designado por V 4 y el cono 

 correspondiente que seguirá 

 conteniendo en sus dos hojas 

 la curva. Cuando un vétice se 

 sustituye por una dirección, la, 

 involución cuyo centro es di- 

 cho punto y cuyo plano central 

 es la cara opuesta, se transfor 

 ma en simetría respecto de 

 esta cara y aquélla dirección; 

 si son dos los vértices que se 

 sustituyen por direcciones, la 

 involución respecto de la aris- 

 ta que determinan y la opues- 

 ta, se transforma en simetría 

 respecto de esta última arista 

 y aquella orientación, y si son 

 tres los vértices sustituidos, la 

 involución respecto del cuarto 

 vértice (que será el centro de 

 la esfera) y la cara opuesta 

 al mismo, se transforma en 

 simetría respecto de aquel 

 centro. 



Dentro de la primera varie- 

 dad pueden ocurrir dos casos, 

 según que el vértice sustituido 

 sea el V 2 ó uno de los V", ó V 3 , 

 es decir, según que el cilindro 

 sea hiperbólico ó elíptico y, 

 aun dentro de este último, se- 

 gún que el cilindro penetre ó 

 nó en la esfera. Cuando hay 

 dos cilindros existirán tantos 

 casos como combinaciones 

 puedan formarse con V[ V s y V 3 

 es decir tres. 



Por último, si los tres vérti- 



variedades (además del caso 

 general) según que una, dos ó 

 tres caras pasen por el centro 

 de 2. 



En todos los casos, subsistirá 

 por consiguiente, la cara exte- 

 rior que hemos designado por 

 t 4 y la cónica correspondiente 

 tp' 4 que en la tercera variedad 

 quedará reducida á un cono 

 director, y el plano de esta có- 

 nica separará los dos haces de 

 planos de que se compone el 

 total. Cuando un plano pasa 

 por el centro, la involución de 

 que es plano central quedará 

 reducida á una simetría; si dos 

 caras pasan por el centro, 

 cada una de ellas vendrá á ser 

 plano de simetría del haz y su 

 recta de intersección un eje de 

 simetría, y si las tres caras 

 pasasen por dicho centro, exis- 

 tirían tres planos de simetría 

 del haz de cuarta clase, tres 

 ejes de simetría y un centro de 

 ídem, que será el centro de 

 la esfera. 



Dentro de la primera varie- 

 dad de estos haces, pueden 

 ocurrir dos casos según que el 

 plano que pase por el centro 

 sea el s. 2 ó uno de los o 1 ó ? 3 , es 

 decir, según que se trate de 

 las cónicas <¡>' 2 , <f\ ó <p' 3 . Cuan- 

 do los planos de dos cónicas, 

 pasen por el centro, existirán 

 tantas combinaciones como 

 pueden formarse con <j,, t 2 y s 3 . 



Por último si los tres planos 



