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ees son los sustituidos por di- 

 recciones, las cíclicas reciben 

 el nombre especial de cónicas 

 esféricas, pues, en este caso, 

 el vértice V 4 es el centro de 

 la esfera, por ser polo del pla- 

 no del infinito. 



15. — Cíclicas reales unicur' 

 sales.— R\ segundo género del 

 grupo 20 corresponde al caso 

 en que los planos conjugados 

 comunes á dos cuádricas del 

 haz son imaginarios. 



Sean V,<p, y V 2 <p 2 las dos su- 

 perficies cónicas que nos defi- 

 nen la cíclica; A t y A\, A 2 y 

 A'. 2 los planos tangentes al 

 cono Vj-f, y al V,tp. 2 , respecti- 

 vamente, trazados por la recta 

 V-, V 2 = <r 3 <j 4 , estando separa- 

 dos los dos primeros por los 

 otros dos; la parte de superfi- 

 cie cónica V,©, comprendida 

 en el diedro A x A. 2 no contendrá 

 puntos reales de la cíclica, de 

 modo que será parte parásita; 

 una cosa análoga sucederá á 

 la V 2 <f 2 comprendida en el die- 

 dro A\A'. 2 ; en cambio serán 

 útiles las partes de cada una 

 de aquéllas superficies conte- 

 nidas en el A., A',. 



El plano A s tangente al cono 

 V 2 <p 2 ; tocará á este según una 

 generatriz y cortará al V,<p, 

 según dos, que con aquella de- 

 terminarán dos puntos de la 

 cíclica, con el plano osculador 



5 u r 'i y a s pasasen por el centro 

 obtendríamos los haces de pla- 

 nos correlativos de las cónicas 

 esféricas. 



Has cíclico de planos de 

 cuarta clase unicur sal. -El se- 

 gundo género del grupo 20 co 

 rresponde al caso en que los 

 dos puntos conjugados comu- 

 nes á dos cuádricas de ia serie 

 son imaginarios. 



Sean <p', y <p', las dos cónicas 

 que nos definen el citado haz; 

 A t y A\ , A. 2 y A\ los puntos 

 de intersección de las cónicas 

 f'i y f's con la recta tr,<r s = V 3 V 4 

 de intersección de sus planos, 

 estando separados los dos pri- 

 meros por los otros dos y sien- 

 do el segmento exterior común 

 á las dos cónicas el A\A. 2 ; la 

 parte de radiación de planos 

 tangentes á o\ que contenga 

 puntos del segmento A l A., no 

 contendrá planos reales del 

 haz, siendo parte parásita de 

 dicha radiación; una cosa aná- 

 loga sucederá á la de la radia- 

 ción de planos tangentes á tp' 2 

 que corte al segmento A'. 2 A\; 

 en cambio serán útiles las par- 

 tes de cada una de aquéllas 

 radiaciones que corten el seg- 

 mento A' l A i exterior á las dos 

 cónicas. 



Por el punto A. 2 de la cp' 2 pa- 

 sarán dos tangentes á la ip', 

 que serán generatrices de la 

 desarrollable envolvente del 

 haz cíclico de planos, siendo 

 su punto de contacto con esta 



