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El tercer género corres- 

 ponde al caso en que los ángu- 

 los a l A s y <¡ l A 3 no tengan par- 

 te alguna común, siendo la 

 curva imaginaria y estando 

 contenida en dos conos reales 

 Va<?ayV 3 <f 3 y en otro V ,?, ima- 

 ginario cuyo vértice real V, 

 pertenece á la esfera 5. 



En todos los géneros la cí- 

 clica está en involución consi- 

 go misma de tres modos dis- 

 tintos; uno respecto del vértice 

 V 2 y el plano <j 2 , otra involu- 

 ción análoga respecto del vér- 

 tice V 3 y plano <¡ 3 y la tercera 

 respecto de las rectas V 2 V 3 



y <r 2 a 3 . 



Los vértices V 2 y V 3 podrán 

 sustituirse por direcciones 

 dando origen á variedades de 

 estas cíclicas nodales. 



18. — Cíclicas cuspidales.— 

 Son las comprendidas en el 

 grupo 22 (8) que se hallarán se ■ 

 gún dijimos (6) en dos superfi- 

 cies cónicas V,», y y 2 * 2 tan- 

 gentes entre sí y á la esfera £ 

 en el punto V, vértice de una 

 de ellas; las generatrices de 

 contacto del plano ¡r, tangente 

 común serán perpendiculares 

 por ser conjugadas respecto 

 de la esfera E Si considera- 

 mos una generatriz de la su- 

 perficie V 2 tp 2 moviéndose sobre 

 la misma cortará en dos pun- 

 tos á la Vjjp, que vendrán á 

 confundirse á la vez en el vér- 

 tice V t ; luego dicha generatriz 

 vendrá á ser una tangente de 



curvas correlativas, has cícli- 

 co de planos acnodal. 



El tercer género se obtie- 

 ne cuando el segmento exte- 

 rior á una cónica es interior á 

 la otra, siendo la desarrollable 

 imaginaria; de modo que solo 

 existe un solo plano real del 

 haz, el. c,, siendo todos los de- 

 más imaginarios. 



En todos los casos está el 

 haz de involución consigo mis- 

 mo, de tres maneras distintas; 

 una respecto del plano <¡. 2 y su 

 polo V 2 , otra respecto de u 3 y V 3 

 y la tercera respecto de las 

 rectas V 2 V 3 y <7 2 a 3 . 



Los planos de las cónicas V 2 

 y V 3 podrán pasar por el cen- 

 tro de la esfera dando origen á 

 variedades de estos haces de 

 planos. 



Haces cíclicos de planos de 

 cuarta clase con un rayo de 

 retroceso. — 'Están determina- 

 dos por los planos tangentes 

 comunes á dos cónicas o\ y <p' s 

 tales que una de ellas la tp' t 

 por ejemplo corte á la otra a> /4 

 siendo el plano de la primera 

 tangente á esta; la tangente á 

 tp' 2 en el punto V, común á las 

 dos cónicas es la recta de in- 

 tersección de los planos a, y <¡ ¡ 

 de ambas, siendo exterior á 

 ellas todo el segmento de la 

 expresada tangente exterior á 

 la -/,; el haz de planos reales 

 estará formado por todos los 

 tangentes comunes que corten 

 al expresado segmento, de 



