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19.— El haz cíclico de planos circunscrito á la esfera S á lo lar- 

 go de una cíclica (S) es de la misma naturaleza que la curva. 



Para demostrar esta propiedad, observaremos que á todo punto 

 A de (E) corresponde en «el haz el plano a tangente en él; á uña 

 cuerda A B su polar afJ; al haz radiado de segundo orden doble- 

 mente proyectante de (£) desde V, un haz plano de rectas de se- 

 gundo orden contenido en el plano <¡ polar de V; al haz de planos 

 bitangentes V>, la serie ¡p' de puntos dobles de la desarrollable; 

 luego existen los mismos puntos con el mismo plano polar respec- 

 to de la curva (£) y del haz cíclico de planos circunscrito, y cuan- 

 do el vértice V no sea punto de £, la línea doble »' será polar de » 

 respecto del círculo <s (L. A. núm. 239). Dedúcese de aquí que, 

 cuando existe un cono con su vértice interior á la esfera, la des- 

 arrollable envolvente del haz cíclico de planos tendrá una línea 

 doble en un plano exterior á 2, siendo la línea y el haz bicursales. 



Si ninguno de los conos doblemente proyectantes tiene su vérti- 

 ce interior á la esfera ni sobre la misma, los planos de las cónicas 

 dobles serán secantes de S; luego el haz y la línea serán unicur- 

 sales. 



Cuando uno de los conos doblemente proyectante tenga su vér- 

 tice sobre la superficie esférica, existirá también una cónica doble 

 de la desarrollable sobre el plano tangente á S en aquel punto, 

 puesto que según hemos visto esta línea doble ©' es lugar de los 

 polos de los planos del haz de bitangentes á{E), estando estas có- 

 nicas »' situadas en los conos S-¡¡' conjugados de los haces de pla- 

 nos tangentes á V<p en el sistema polar absoluto. Si el cono Vy 

 tiene dos generatrices reales en el plano <*, pasarán por el punto 

 V dos rayos reales del haz de rectas tangentes á <?' siendo la línea 

 crunodal y el haz de planos de la misma especie. Cuando las ex- 

 presadas generatrices sean imaginarias, sus polares también lo 

 serán, correspondiéndose las acnodales con los haces reales que 

 tienen un rayo aislado. Si el cono V<p es imaginario, imaginarios 

 serán los polos de sus planos tangentes; luego la nodal imagina- 

 ria se corresponde con el haz imaginario de un solo plano real. 



Por útimo, si el cono V<? es tangente á a, la cónica <»' tiene por 

 tangente en V la perpendicular á aquella generatriz de contacto, 

 siendo las cíclicas cnspidales y el has de planos con un rayo de 

 retroceso. 



III 



20. — Proponémonos en pri- 

 mer lugar reducir la construc- 

 ción de una cíclica definida 



Trataremos en primer lugar 

 de reducir la construcción de 

 una desarrollable circunscrita 



