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á una esfera S y otra cuádrica 

 2', á la determinada por dos 

 cónicas dobles de la expresada 

 desarrollable cíclica, obser- 

 vando para ello que los planos 

 nos de estas cónicas dobles son 

 los que tienen el mismo polo 

 respecto de cada una de las 

 cuádricas de la serie. 



por una esfera S y otra cuádri- 

 ca 2', á la intersección de dos 

 superficies cónicas de segundo 

 orden, observando para ello 

 que los vértices de estas super- 

 ficies que proyectan doblemen- 

 te á la cíclica (£) serán los pun- 

 tos que tengan el mismo plano 

 polar respecto de las cuádricas 

 del haz cuya base es (2) {L.A. 

 número 232). 



21. — La esfera S y la cuádrica S' son directrices de dos sistemas 

 polares en el espacio, de tal modo que á una figura S, , correspon- 

 den otras 2 2 y E' 2 polares de £, y homográficas, por consiguiente, 

 entre sí. Es evidente que los puntos que tengan el mismo plano 

 polar respecto de las cuádricas S y £', serán dobles en las figuras 

 homográficas S 2 y £' 2 y también serán dobles los planos que ten- 

 gan el mismo polo. 



Para determinar estos puntos y planos dobles, observaremos que 



al punto A¡ de la primera co- 

 rresponderá uno A 2 de la se- 

 gunda, y á éste, como de la 

 primera otro A 3 de la segunda, 

 y que si imaginamos definida 

 la relación de homografía en- 

 tre las dos figuras por las ra- 

 diaciones A t y A* de la prime- 

 ra de aquellas, con sus homo- 

 logas respectivas A 2 y A 3 de 

 la segunda, se cortarán en todo 

 punto doble V¡ no situado en 

 la recta A l A. 2l las rectas V i A i 

 y VfA^ de la primera figura y 

 sus homologas V X A% y V t A 3 

 de la segunda; pero como en 

 general, las rectas A l A i y' 

 A. 2 A 3 serán distintas, los pun- 

 tos de intersección de las rec- 

 tas de la radiación A í con sus 

 homologas de A.¿ formarán una 

 cúbica; los de intersección de 

 las rectas de A. 2 con sus homo- 

 logas de A 3 constituirán otra 

 cúbica que cortará á la prime- 



ai plano a, de la primera co- 

 rresponderá uno a a de la se- 

 gunda y á este, como de la 

 primera, otro a 3 de la segunda, 

 y que si imaginamos definida 

 la relación de homografía en- 

 tre las dos figuras por las figu- 

 ras planas a, y a 2 de la prime- 

 ra con sus homologas respec- 

 tivas a 2 y a 3 de la segunda, 

 estarán situadas en todo plano 

 doble <¡ ¡t que no contiene la 

 recta a,^, las a. 1 <¡ l y a 2 a, de la 

 primera y sus homologas a 2 a, 

 y a 3 a l de la segunda; pero 

 como en general, las rectas 

 a,a 2 y a 3 a, serán distintas, los 

 planos determinados por las 

 rectas de j la^ figura plana o^ 

 con sus homólogos de la a 2 

 constituirán un haz de planos 

 de tercera clase; los planos de- 

 terminados por las rectas de 

 la figura plana ¡x 3 con sus ho- 

 mologas de a, constituirán otro 



