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 de las que, eliminando m, se obtiene 



(V- + a") x 2 + {r- - a-) y- - {2r- -\-a"-)ax-\- a? r 2 = 0, (1) 



ecuación de una cónica, uno de cuyos ejes es OP, que tiene un 

 vértice en P, y para semiejes 



2 (r 2 -f a 1 ) ' 2 (V 4 - a 4 ' 



La envolvente de la cónica (1) cuando el punto P se mueve 

 sobre un diámetro, se obtendrá eliminando a entre la ecuación (1) 

 y su derivada con relación á a, 



3xa* - 2 (x 2 — y + r 2 ) a + 2r 2 x = 0. (2) 



Aplicando el método de Bezout, se obtiene una ecuación que 

 se desdobla en dos, representando la una el eje y, y la otra una lí- 

 nea de 8.° orden, cuya ecuación, es 



4{x 2 — y 2 +r 2 ) j[(x' 2 -y-+r i f—9r-x i ] (x 2 +y 2 ) — r-x^x 2 — y' 2 +r-)\ 

 + r*x* [27 {x 2 + y) 2 + 32 r 2 x-} = 0. 



Un rápido examen de ella, nos dice que: 



1.° Por ser todos sus términos de grado par en x é y, los 

 ejes coordenados son ejes de simetría de la curva, y el origen 

 centro. 



2.° Haciendo x = 0, resulta 



4 o- 2 — y) 2 y = o, 



luego el eje y corta á la línea en dos puntos en el origen, y en 

 otros seis que forman dos grupos de tres, teniendo cada grupo las 

 ordenadas + r y — r. 



3° Poniendo y = 0, resulta 



x 6 (4x 2 — r 2 ) = 0, 



luego el eje x corta á la línea en seis puntos en el origen y en 



otros dos reales correspondientes á las abscisas —y — — . 



4.° Poniendo v = + r, la ecuación se descompone en el pro- 

 ducto de x 2 por un factor de sexto grado, lo que indica que la 

 recta y = + r tienen dos puntos comunes con la línea en el punto 

 (0, ± r), lo que parece indicar, teniendo en cuenta las observacio- 

 nes 1. a y 2. a , que la curva tiene un punto de retroceso en el (0, r) 

 y otro en el (0, — r). 



6° La línea corta á la recta del infinito en dos puntos circu- 



