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El haz formado por las generatrices de un sistema del hiperbo- 

 loide y el de los planos perpendiculares á ellas trazados por el 

 punto dado, son proyectivos, y, por consiguiente, el lugar geomé- 

 trico de los puntos de intersección de sus rayos homólogos es una 

 cuártica de segunda especie (cuárticas que no son bases de haces 

 de cuádricas); y otro tanto puede decirse para el haz de las gene- 

 ratrices del otro sistema. 



Si en lugar de un hiperboloide se tratase de un paraboloide, el 

 haz de planos de segundo orden, se reduce á dos de primero y el 

 lugar correspondiente á cada sistema de generatrices es una cú- 

 bica alabeada. 



A. U. 



Nota. En prensa ya este número, se ha recibido una muy in- 

 teresante nota de D. Julio Rey Pastor, tratando esta cuestión de 

 un modo general, que se publicará en el próximo número. 



11. Se consideran las cantidades 



a 2-k -\- a 4tt + a 2{n — 1) x -f a 



eos — , eos , eos , , eos 



n n n n 



y se multiplica la m potencia de cada una por la r de todas las demás. 



m -f- r 

 Designando por s el mayor entero oontenido en , la suma de todos 



n 



estos productos es 



^■P = Ai + P\ eos a + p, eos 2a + -f p s eos sa , 



en donde p , p, , p. 2 , p s son independientes de a. 



J. OLIVERO. 



Esto equivale á demostrar que Zp es de la forma 



g u + q í eos a + q 1 eos' 2 a + + q s cos s a (I) 



siendo también q , q s independientes de a; pues es sabido, que 



de esta expresión se pasa fácilmente á aquella. 



Para probar esto, formemos la ecuación cuyas raíces sean las 



n cantidades dadas, que llamaremos x , x il x n —v J bastará 



ver la naturaleza de la función simétrica doble á que se refiere el 

 enunciado. 



Basta observar para ello, que los productos por n de las mis- 

 mas, son congruentes mód. 2tt y tienen por tanto las mismas 

 líneas trigonométricas. Eligiendo, pues, la forma más sencilla de 

 poner en función algébrica del coseno, será 



n (n\ n-2,. .,, , í n \ n—i,, .,,.-, 



eos a = „r —l — jx (l — x 2 ) + l— \x (l — x 2 )- — 



la ecuación buscada. 



