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Designemos por a , «, , a los coeficientes que resulten al 



hacer el desarrollo, notando que son independientes de a excepto 

 a n que es de la forma c — a = c — eos a siendo c = + 1 ó c = 0, 

 según que n sea par é impar. La ecuación, es pues, 



a x -\-a,x -f- -]- a =0. 



Llamando s á la suma de las m ' ls potencias de las raíces, 

 será 



E¿> = 5 5 — S , . 

 ^ m r m + r 



Para ver el grado en a de s , s . s , demos valores sucesi- 

 vos á & en la relación 



- a s k = a { s k _ t + i^.^. + flt*, 



que liga & funciones simétricas simples consecutivas, conviniendo 

 en que para k > n , a k = . 



Y se observa que: para k = 1, 2, « — 1, los primeros 



miembros y por tanto 5, s 2 s *_i son independientes de a; 



para k = #, n 4- 1, , 2» — 1. son 5,5 . s„ , de la 



r ' ' n' n + 1 2n — 1 



forma u a a. -\- n^; para k = 2tí, 2n-\-\, 3w — 1, son s , 



s 2n , 5 3n _ 1 de la formaba 2 -f- í;, a -|- í; 2 ; ; para k = kn, 



hn+.l, ....; {h + 1);/ — 1, de la forma ¿ a" + í.a" - 1 + .... + ¿\ 

 Por consiguiente, designando por u, v, s los cocientes enteros 

 de m, r,m-\-r por «, serán s , s r , s , respectivamente de gra- 

 dos u, v, s; y como evidentemente s^> u -\- v,^p será de grado s, 

 es decir, de la forma (I); y la proposición queda demostrada. 



Julio Rey Pastor. 



Establecimiento tipográfico de Emilio Casafial, Coso 100, Zaragoza 



