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PUNTO NOTABLE ASOCIADO A UN PUNTO DE UNA CÓNICA 



Es conocido el teorema siguiente: «Si desde dos puntos A, B 

 se trazan las tangentes (reales ó imaginarias) á una cónica T, los 

 cuatro puntos de contacto y los dos puntos A, B están en una 

 misma cónica» (*). 



Recíprocamente, sean P, Q los puntos de contacto de las tan- 

 gentes trazadas desde A; toda cónica que pase por APQ corta á 

 la cónica F en otros dos puntos y pasa por la intersección de las 

 tangentes trazadas á Y en estos dos últimos puntos. Propiedad 

 que resulta inmediatamente del teorema directo y del hecho de 

 que cinco puntos bastan para determinar una cónica. 



En particular, el círculo circunscrito al triángulo APQ corta 

 A Y en dos puntos M , N y pasa por el punto S intersección de las 

 tangentes á Y en M y TV; en ese círculo el punto A es diametral- 

 mente opuesto al de encuentro de las normales en P y Q. Si estos 

 últimos puntos se acercan indefinidamente el uno al otro, el límite 

 del círculo circunscrito al triángulo APQ es el que tiene por diá- 

 metro el radio de curvatura en el punto A de la cónica F. Tene- 

 mos así el teorema: 



El círculo que tiene por diámetro el radio de curvatura en un 

 punto de tina cónica Y, corta además á la curva en dos pun- 

 tos M, N y pasa por el punto S polo de la recta MN respecto de 

 la cónica Y. 



A todo punto A de la cónica corresponde, pues, un cierto pun- 

 to S del plano. Sea 



ax* + 2hxy A- by' 1 - 2y = (1) 



la ecuación de la cónica Y referida á la tangente y la normal en A. 



El radio de curvatura es — , y el círculo descrito sobre este radio 



a 



de curvatura como diámetro tiene por ecuación 



ax- + ay- — y = 0. (2) 



(*) Véase p. ej : H. Ma.ndart.-Com? 1 * de Géomélrie anuli/tique, Namur 1904, p. 451. 



Si P, Q son los puntos de contacto de las tangentes que pasan por A, y Ií, S los 

 de las que pasan por B, el haz A. PQRS... es proyectivo con la serie de sus polos, y 

 como ésta es precisamente sección del haz' 5. PQRS... con la secante PQ, esos dos 

 haces son proyectivos y engendran una cónica que contiene los seis puntos dichos. 



N. T. 



