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Sobre dos integrales definidas. 



Se cita ordinariamente, en los tratados clásicos, las integrales 



A = 



log x 



V 



dx, 



B = 



x 



log X 



dx, 



S — ^ 



o 1 + X 



como ejemplo de integrales definidas cuyo cálculo exige el des- 

 arrollo en serie de la función afectada del signo integral; además, 

 esto supone conocida la suma de la serie 



j_ 

 i n- ' 



Pero el cálculo de las integrales A y B puede hacerse directa- 

 mente, por el método de los residuos, y aplicarse á la sumación 

 de la serie S 2 . 



He aquí este cálculo. 



Se parte de la función de variable compleja 



logg 

 1 — y 



que se integra, en el sentido directo, á lo largo del contorno de un 

 semicírculo situado encima del eje real, que tiene como centro el 

 punto v = y como diámetro el segmento comprendido entre los 

 puntos — 1 y -f- 1, salvando el punto v = por medio de una se- 

 micircunferencia (g) de ra- 

 dio e y el punto -f- 1 por me- 

 dio de un cuadrante de cír- 

 culo (c) de radio -r¡, de ma- 

 nera que los dos puntos 

 v = y V = + 1 queden 

 fuera del contorno de inte- 

 gración. 



Designando por (T) el 

 contorno así definido, se 

 tiene 



/ = 



./ <n 



log 

 1- 



— dy = 0, (1) 



puesto que en el interior y sobre el contorno (F), la función 



\og s 



