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La masa (ó el peso) de un volumen de revolución es igual á 

 la masa (ó el peso) del área que lo engendra, multiplicada por la 

 circunferencia descrita por el centro de gravedad del área. 



Haciendo en (a) y (6), w = const, se tienen los teoremas de 

 Guldín y de Pappus. 



La generalización de los teoremas (a) y (b) para un ángulo de 

 rotación 3 <; 2tt y más generalmente, para la rodadura sobre una 

 desarrollable, se hará evidentemente de la misma manera que 

 para los teoremas de Guldín y de Pappus (*) . 



2. Sobre una propiedad de los centros de gravedad. 



Designando por m la densidad de una figura no homogénea, se 

 tienen las fórmulas 



MX, = f üxdv, MY¡ = / ñydv. MZ. = f Zsdv, 

 1 J(ñ hf) ' hf) 



M = [ üdv. (**) 

 .hf) 



Supongamos que la densidad sea de la forma 



1 



Ax + By + Cs 



es decir, inversamente proporcional á la distancia del punto á 

 un plano fijo. 

 Se tendrá 



f dv 



AX, + b r, + Cb, ax, + by ¡ + cz/ 



donde £ representa la extensión (longitud, área ó volumen) de la 

 figura. Por tanto: 



La masa de toda fisura, cu va densidad csZ>= — - — -— — . 



Ax-\-By-\-Cs 



es igual á la extensión de la figura, multiplicada por el factor 



constante —-=. — ¡ — r— - — ——;— ,es decir , igual á la masa de la misma 

 A.X l -f- B y, -\- CZ Í 



figura supuesta homogénea y de una densidad -—= — ¡ — — ~ — 



AX t -j- B 1, + CZ, 



(") Se atribuye á menudo, pero yo creo ser falso, el teorema relativo á los vo- 

 lúmenes á Guldín. Pappus en su colección (ed Hultsch. V. II, p. 682, Bezol 1877), lo 

 anuncia claramente. (Ver también: Cantor, Gescbichte der Mathematilv, I, p.42l). 



(**) Ruiz Castizo.— Mecánica racional. Tomo 1.", fascículo 1.°, cap. IV.— Madrid, 1907. 

 — Graindorge.— Mecánica anatilica —Tomo I. 



