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V 2 - a — <s —\ M' = - m (am M'+bnÑ' + cp P') 



V i — b — <s^j\N'=— n (a m M' + bnN' + cp P'\ ) (18) 

 r I i 



V 2 — c — a L\ p' = - p (am M' + bn N' + cp P') ] 



De las (17), multiplicando por M, N, P, respectivamente y suman- 

 do, resulta 



T „ / M* , . N* . P 2 \ r' 



V 1 — [a —r- + b— r-fc-r = a — . 

 \ r- r- r 2 j r 



Análogamente, de las (18) 



T „ / M' 2 , . N' 2 . P' 2 \ r 



\ ?' 2 r ■ r - I r 



i 



y añadiendo las dos últimas, puesto que 



M 2 , JU'* , , , , ; 



*-r -i rr = 1 — m 2 = tr 4- p-, etc., 



y- y i 



2 V* — a (n 2 -f ¿> a ) - 6 (;«■- -f />*) - c (m 2 + «-) = * (^ -f — 



r 

 Si designamos á — - por A", y por K si se trata del valor correspon- 

 diente al valor o de l 7 y K e a' e de V, puesto que por (16), 



a {n- + p 2 ) -\- b (p- + m-) + c (ni' 2 + «'-) = o'- -f e 2 , 



y añadiendo estas dos 



(lú + A'e) (1 + K Ke) = O. 



Por tanto, A' = — K e ó K = ^ . Esto significa que las dos 



A e 



elipses correspondientes á los dos valores de V, ó coinciden ó están, 

 por decirlo así, cruzadas. En todo caso descritas en sentido contrario. 

 Pero si hubiéramos supuesto <¡ = o, hubiéramos hallado que las 

 elipses degeneran en dos rectas perpendiculares, luego por continui- 

 dad admitiremos como solución única K = t—. 



K e 

 Para aquellos puntos para los que o 2 — c 1 = + 2? que son los ejes 



ópticos, K n — + 1, K & = + 1 y las elipses se convierten en círculos. 



