718 Gesammtsitzung vom 21. Juni. — Mittheilung vom 7. Juni. 
Diese erscheinen aber dabei nicht in redueirter Form, sondern Zähler 
und Nenner der Multiplicationsformeln erhalten bei dieser inductiven 
Herleitung aus dem Additionstheorem gemeinschaftliche Faetoren und 
werden demgemäss von zu hohem Grade. Dass aber der Grad von 
Zähler und Nenner der reducirten gebrochenen Funetionen von 
sin’ama in den drei mit (B) bezeichneten Ausdrücken genau gleich 
‚n’ und in den drei mit (B‘) bezeichneten Ausdrücken genau gleich 
—(n® — ı) ist, kann im Anschluss an die Deduetion Aser’s in einer 
Weise dargethan werden, welche der Kürze halber hier nur für die 
beiden auf sin amna bezüglichen Ausdrücke entwickelt werden soll. 
Gemäss der induetiven Herleitung der Multiplicationsformeln aus 
dem Additionstheorem, kann für grade Zahlen n: 
sin am na-G(sin’ama) = sinama cosama Aam a: F(sin’ am a) 
und für ungrade Zahlen n: | 
sinamna- G,(sin’ama) = sin am a - F, (sin? am a) 
gesetzt werden, wo F(x), F,(«), @(&), G,(«) ganze Functionen von 
x bedeuten, deren Coeffiecienten rationale Funetionen von %k sind. 
Dabei kann angenommen werden, dass weder F(x) und G(x) noch 
z(1— 2) (1 — A’z) und G(x) noch auch zF, (x) und @, (x) einen gemein- 
schaftlichen Theiler haben. Alsdann sind offenbar, wenn x und Yy 
unbestimmte oder variable Grössen bedeuten, die beiden ganzen 
Funetionen von x,y: 
(1 - (1 -Ra)P’la)— yG’(a), File) — yo le) 
irreductibel, in dem Sinne, dass sie keine Factoren haben können, 
welche ganze rationale Functionen von x und y wären, auch wenn 
in deren Coeffieienten Irrationalitäten zugelassen würden. Denn beide 
Funetionen sind in Beziehung auf y nur linear, und einen von y unab- 
hängigen Theiler können sie nicht haben, da der Voraussetzung nach 
weder z(1— 2)(1 — Az) F’(xz) und G?(«) , noch xF‘(x) und G?(x) 
einen gemeinschaftlichen Theiler haben können. Die beiden Gleichungen 
(1 -2)(1ı -Ra)Pla)=y@la), aFi(e) = yG:(a) 
können nun, da sie irreductibel sind, nicht gleiche Wurzeln x haben, 
und ihr Grad ist daher gleich der Anzahl der verschiedenen Werthe 
von x, welche einem und demselben Werthe von y entsprechen, d.h. 
gleich der Anzahl derjenigen Werthe a’,«a”,..., wofür 
sin’amna, sin’amna’, sin’amna” , 
einander gleich’ und 
sin’ama, sin’ama’, sin’ama” 
ea 
Sy 
