Kronecker: Bemerkungen über die Multiplieation der ellipt. Funetionen. 719 
unter einander verschieden sind. Hieraus ergiebt sich, dass der Grad 
beider Gleichungen in x gleich »? ist, und dass also die Grade von 
Fa), ea), F&a) , G@ 
beziehungsweise: m” — 2, n? 
sein müssen. 
4m), 4@-ı) 
Die hier entwickelte Bestimmung des Grades von Zähler und 
Nenner der Multiplieationsformeln beruht recht eigentlich, wie auch 
bei Age deutlich hervortritt, auf der Ermittelung der sämmtlichen 
Wurzeln der transcendenten Gleichung sinamu = o, d.h. also auf 
dem Nachweise, dass erstens für alle ganzen Zahlen m, m’: 
sinam (2mK + am’K’i) = o 
wird, und dass zweitens sinamw nur für die Werthe: 
u= z2mK + am’K'i 
verschwindet. Das Letztere folgt, wie ABEL zeigt, mit Hülfe des 
Additionstheorems unmittelbar aus dem Ersteren, wenn der Modul %k 
reell und kleiner als Eins vorausgesetzt wird. Diese Voraussetzung 
thut aber der Allgemeinheit jener Gradbestimmung von Zähler und 
Nenner der Multiplicationsformeln keinen Eintrag, da der Grad, auf 
welchen Zähler und Nenner der redueirten Multiplicationsformeln für 
jene beschränkten Werthe von % steigt, offenbar für jeden Werth 
von k derselbe bleiben muss. Es zeigt sich daher, dass die Aser'sche 
Deduction überhaupt nur die unmittelbar aus der Definition: 
sinam a 
—— BE 
E gr —- (1%) 
hervorgehenden Eigenschaften von sinama zu Hülfe nimmt, um die 
redueirte Form der rein algebraisch durch wiederholte Anwendung 
des Additionstheorems entstehenden Multiplicationsformeln zu ermitteln. _ 
Als ich dies neulich in meinen Universitäts-Vorlesungen ausein- 
andersetzte, fügte ich hinzu, dass es wohl wünschenswerth erscheine, 
. die Herleitung der reducirten Multiplieationsformeln aus dem Additions- 
theorem von jeder Zuhülfenahme der analytischen Eigenschaften der 
elliptischen Functionen frei zu machen. ‚Einer meiner Zuhörer, Hr. 
Dr. C. Runge fand sich dadurch angeregt, sich mit dem Gegenstande 
zu beschäftigen und theilte mir schon nach einigen Tagen als Resultat 
seiner Bemühungen eine rein algebraische Herleitung der reducirten 
Multiplieationsformel für cosam mit, welche nächstens in dem von 
Hrn. Weierstrass und mir redigirten Journal für Mathematik abgedruckt 
werden wird. Um mir nun die Ursache des Erfolges der von Hrn. Runse 
