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Kronecker: Bemerkungen über die Multiplieation der ellipt. Functionen. 721 
und geht mit Benutzung der Relation: 
ksinambsinam(b+ Ki) = ı 
über in: 
sin ama sin'am(b+ Ai)— sin'ama sin am(b+ Ki) 
A” k si DD) — 
(A) ksinam(a-+Ö) sin’ ama — sin?’ am (b + Ki) 
In dieser Form wird es evident, dass Zähler und Nenner des Aus- 
drucks für sin am (@a+ 5) verschwinden, wenn sin am a —= sinam (b + Ki) 
ist. dass also, wenn man a=rr,b—=sv und für r.s ganze Zahlen 
nimmt, der aus (A°) hervorgehende Ausdruck für sinam(r+s)v im 
Zähler und Nenner alle verschiedenen Factoren 
sin amo — sinam», (k=0, 1,2,....) 
enthalten muss, welche durch die Gleichung: 
sinamrv, = sinam (so, + Ki) 
definirt werden. 
Um nun zu zeigen, dass die rationalen Funetionen von sin’amr, 
durch welche sich, je nachdem n grade oder ungrade ist, die oben 
unter (B) und (B’) aufgestellten Ausdrücke: 
sinamnv-sinam®v sinamn® 
(B’), 
’ 
sinamv sin am® 
darstellen lassen, in ihrer redueirten Form im Zähler und Nenner 
von den Graden 
nm „ -m- 1) 
sind, braucht man dies nur für alle Zahlen vorauszusetzen, die kleiner 
als eine gegebene Zahl » sind. Nimmt man alsdann für r und s 
irgend zwei positive Zahlen, deren Summe gleich » ist, und denkt 
man sich die Ausdrücke (B”) erst mittels des Additionstheorems (A°) 
durch sinamrv, sin'amrv, sin am sv, sin’ am sr, diese aber alsdann durch 
die der Voraussetzung nach schon redueirten Ausdrücke in sin am», 
sin’ am » dargestellt, so erhält man rationale gebrochene Functionen 
von sin’amv, deren Zähler und Nenner, je nachdem r + s grade oder 
ungrade ist, von den Graden: 
r+s0oderr+s°-—ı 
sind. Die Anzahl der verschiedenen Werthe von sin’amv,, wofür: 
sin am rv, = sin am (sv, + Ki) 
wird, ist aber je nachdem r + s grade oder ungrade ist, gleich: 
—(r — s)’ oder (ke —) — 1) : 
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