722 Gesammtsitzung vom 21. Juni. — Mittheilung vom 7. Juni. 
der Grad im Zähler und Nenner der rationalen Funetionen für die 
Ausdrücke (B”) muss sich also mindestens auf: 
r+®°——(r—s? ode ?+9-—1ı — (fr — 8)’ — 1) 
d. h. also, je nachdem r + s grade oder ungrade ist, auf 
—(r + s)” oder ((r + 5)? — 1) 
redueiren. Dass aber keine weitere Reduction des Grades stattfinden 
kann, wird nunmehr in ähnlicher Weise wie bei Ageı daraus erschlossen, 
dass z..B. für ungrade Zahlen n die Anzahl der verschiedenen Werthe 
von sin’ am v,. wofür: 
sin am nv 
sin am vo 
gleich Null wird, genau gleich —(n? — ı) ist. 
Die vorstehende Deduction zeigt, dass der überflüssige ge- 
meinschaftliche Factor, welcher bei der auf das Additions- 
theorem (A°) gegründeten Bildung von sinam(r +s)v aus 
sinamro und sinamsvo im Zähler und Nenner erscheint, nichts 
Anderes ist, als der Nenner in dem Ausdrucke für sinam (r—s)r, 
d. h. der Nenner der rationalen Function von sin’ am», in ihrer redu- 
eirten Form, durch welche, je nachdem r —s grade oder ungrade ist, 
sin am (r — s)v sin am (r — s)v 
ä sin'am» oder 4 
sin am v sin am © 
dargestellt wird. Dieser Nenner ist gleich Eins, wenn r=s oder 
r=s+1ı ist, und die Bildung von sinamnv aus sinamrv und 
sinamso führt also, wenn n=r-+ s und, je nachdem n grade oder 
ungrade ist, r=s oder r=s+ ı angenommen wird, unmittelbar 
zur redueirten Multiplieationsformel. Eine solche Bildungsweise findet 
sich in Hrn. Könıssgereer’s » Vorlesungen über die Theorie der ellipti- 
schen Functionen« (Theil I, S. 194); doch bedarf es zur Vervollstän- 
digung der dortigen Deduction, ebenso wie oben, des Nachweises, 
dass die aus derselben hervorgehende Multiplieationsformel wirklich 
in der redueirten Form ist, d.h. dass Zähler und Nenner keinen 
gemeinsamen Theiler haben. Dieser Nachweis ist oben auf die Kennt- 
niss der Wurzeln der Gleichung sinam v = o gegründet worden; der- 
selbe kann für grade Zahlen », also fürr = s rein algebraisch geführt 
werden, indem man die redueirte Form des Ausdrucks für sinam mw 
voraussetzt; ob aber für ungrade Zahlen n der Nachweis in ähnlicher 
Weise geführt werden kann, muss ich dahin gestellt sein lassen. 
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