Kronecker: Bemerkungen über die Multiplieation der ellipt. Functionen. 727 
genau drei unabhängige Elemente A,®,M enthält, im Sinne einer 
Äquivalenz vierter Stufe (vergl. meine Festschrift S. 91). Die Faectoren: 
$+uWF,d-+uG,F+uV 
sind ganze algebraische, dem Gattungs-Bereich [A,W,B,®,M] »asso- 
cürle« Formen, und die erste dieser drei Formen stellt den grössten 
gemeinsamen Theiler von ® und F dar. Diese drei Formen sind nicht 
irreduetibel; jede derselben lässt sich vielmehr noch weiter in je zwei 
Faetoren zerlegen. 
IV. 
PA, 
Bezeichnet man zur Abkürzung die durch den Bruch es dar- 
gestellte algebraische Funetion der Grössen \,® durch H (A,B) und 
fixirt die darin vorkommenden Quadratwurzeln W,% so, dass dieselben 
für A\=0,8=0o der positiven Einheit gleich werden, so genügt 
die Function H(A,®) den Relationen: 
H(x,0)=2,H(@,y)=H(y,a)= —H(—-2,—y) 
H (H(z,y),z) — H(H(z,2),y) — H(H(y,2),2) j 
welche durch Rechnung verifieirt werden können. Aus diesen Rela- 
tionen folgt nicht nur, dass H(H (x, Y), z) eine symmetrische Function 
von &,%,2z ist, sondern auch, dass ebenso: 
H(H(H(z,y), 2); {) 
eine symmetrische Function von x,y,2z,t und mit: 
H(H(x, y), H(z, ©) 
übereinstimmend wird. Es ist demnach allgemein, wenn die auf diese 
Weise aus rGrössen 2,,2,,...2, gebildete Funetion mit H, bezeichnet 
wird: 
Hl ,2,,..,8.,) H(H,(z,, 2.5.2), BU, Rn) 
Setzt man endlich der Einfachheit halber für den Fall gleicher 
Elemente z: 
B1#:3....9 HR) 
und 
H,(2) =o, BuwW=e27, n.,.9= —72, 
so ist allgemein für positive und negative Zahlen r,s: 
H,,.() = H(H,(e), H,(2)). 
Dies vorausgeschickt, lässt sich die Aufgabe der algebraischen 
Herleitung der Multiplieationsformeln aus dem Additionstheorem in 
