Kronecker: Bemerkungen über die Multiplieation der ellipt. Funetionen. 729 
sein müssen, während der Voraussetzung nach weder zz” P, und Q, 
noch zz” P, und Q, gleichzeitig verschwinden. Der Ausdruck für 
zz"*”H,,,(2), nämlich: 
$,+ uG 
z2"+9 2 ——— oder zz"? 
F, + uY, 
Oz 50 +9 
+ u’z2"T”G, 
0,045) ie 
or ua", 
ist hiernach ein redueirter Bruch, in dem Sinne, dass Zähler und 
Nenner nur eine primitive Linearform von v als gemeinschaftlichen 
Theiler haben. Denn: 
I 
Zen Po EB ER ? hans Fi 
sind ganze Grössen des natürlichen Rationalitäts- Bereichs [z? , M]; 
sowohl der in den zwei ersten als auch der in den zwei letzten dieser 
vier Grössen enthaltene gemeinsame Theiler erster Stufe lässt sich 
daher ebenfalls als eine Grösse des Bereichs [>?, M], also ohne Zu- 
hülfenahme von Formen, vollständig darstellen. 
Die Gradbestimmung der von v unabhängigen Factoren in ®&, +6, 
und F, + u%, kann auf die Gleichungen (D’) gegründet werden, aus 
denen analoge Gleichungen: 
(D°) (&+uR)(®&,+uG)= E%,, 
= u F,) (F; +u%) = ER 
hervorgehen. Dabei ist E, eine primitive Form von u, w, und &,+wF, 
ist der Nenner des Ausdrucks für H,_,(2). Wird also der Grad des 
von w unabhängigen Factors in ®,+ «F als bekannt angenommen, 
so bestimmen sich daraus die Grade der von u unabhängigen Factoren 
von ®,+ uG, und F, + wY,, und zwar genau in derselben Weise wie 
es im Art. II ausgeführt ist. 
Nachdem auf die angegebene Weise der Grad von Zähler und 
Nenner des Ausdrucks für H,,,(2), d.h. also der Grad von P.,,(z?) 
und Q,,,(2?), bestimmt worden, ergiebt sich der Grad des Zählers 
‘von H;,,(2), d.h. also der Grad von R,,,(z?), einfach aus der De- 
finition von H’. Denn diese ist durch eine Gleichung: 
ıi—cH +cH=H? 
gegeben, in welcher die Coeffieienten e,c’ nur von W abhängig sind, 
und eben. diese Definition zeigt auch, dass Zähler und Nenner des 
daraus resultirenden Ausdrucks von H’ für keinen Werth von z gleich- 
zeitig verschwinden. 
Ausgegeben am 28. Juni. 
Berlin, gedruckt in der Reichsdruckerei. 
