Kronecker: Weitere Bemerkungen üb. d. Multiplieat. d. ellipt. Functionen. 953 
Gleichungen (E), (E”), (F) entnehmen, welche für r—=s-+ı ergeben, 
dass gemäss (E”): 
(J) Dv (@, D %) =2,Dv (F, ’ ®,) = 
folglich @, dureh z theilbar und nun gemäss (F): 
(KR) Dv (6,,0)= 6, Dv(B,Y)=R,, 
also endlich gemäss (E’) der Bruch auf der rechten Seite von (H) ein 
redueirter sein muss. Derselbe Nachweis ist auch sehon von Askı 
a. a. OÖ. vollständig geführt, und es ist dabei ebenfalls — wie besonders 
hervorgehoben werden muss — das Additionstheorem in den beiden 
Ausdrucksweisen (0): 
» (fi) Fb)  E(fla) ‚fb)) 
F(f(a).f()) #(f(a) .(b)) 
benutzt worden, deren Zusammenfassung mittels der Theorie der asso- 
eiirten Formen das Additionstheorem in redueirter Form ergiebt. 
Dies scheint daher den am Sehlusse des Art. II meiner vorigen Mit- 
theilung ausgesprochenen Zweifel noch zu bestätigen, nämlich den 
Zweifel daran, dass der Nachweis der redueirten Form des Bruches 
für H,,,(2) in (H) in ähnlicher Weise wie für H,(z) geführt werden 
kann, ohne wie in jenem Art. II die analytischen Eigenschaften der 
elliptischen Funetionen oder wie in jenem Art. IV die redueirte Form 
(©) füa+b)= 
des Additionstheorems zu Hülfe zu nehmen. 
In der angeführten Ager’schen Deduetion erscheint auf den ersten 
Blick die Gleichung (G), sowie die Annahme r=s-+ ı, welche den 
Ausgangspunkt bilden, als die Hauptsache und das spätere Zurück- 
gehen auf die Additionsformeln (©) als etwas nur Beiläufiges. Die 
obige Entwickelung zeigt dagegen, dass es sich gerade umgekehrt 
verhält. Sobald man überhaupt von den Gleichungen (C©’) Gebrauch 
machen muss, bedarf es weder der beschränkenden Annahme r—s-+ı 
noch der Benutzung der zusammengesetzten Additionsformel (G) an 
Stelle der einfachen (E): 
$ 
H,,,(2) ar E, ne y, ; 
grade diese Gleichungen führen vielmehr ganz direet und ganz all- 
gemein in der Gleichung (FE) zum redueirten Ausdruck für H,.. (2). 
Freilich vereinfacht sieh derselbe formal für den Fall r=s-+ 1 inso- 
fern, als dann gemäss (K) der Zähler gleich z G, und der Nenner 
gleich F, wird; aber für den bezüglichen Nachweis muss man doch 
