WEINGARTEN: Über die Differentialgleichung der Oberflächen. 1165 
nothwendig, welche offenbar ausdrückt, dass das Linienelement dieser 
Fläche durch Einführung geänderter Parameter der Krümmungslinien 
vv’ in die Form 
A (du” + de”) 
gebracht werden kann. 
Ist nunmehr die Gleichung einer Oberfläche 
dla,y,2)=e 
gegeben, so sind die Grössen r + r’, rr’„(r — r’ wohlbekannte 
Funetionen der ersten und zweiten Deikrinas der Function &. Es 
ergiebt sich daher nach Ausführung der in Q angedeuteten Differen- 
tiationen für Q ein Werth: 
2 —= Ude + Vdy+ Waz, 
in welchem die U, V, W aus den Differentialquotienten von & bis zur 
dritten Ordnung inclusive zusammengesetzt sind. Die Bedingung 
für den Umstand, dass Q für solche Differentiale de, dy, dz, welche 
der Gleichung 
dy 
genügen, in ein Totaldifferential übergehe, ist bekanntlich die folgende: 
9p (dv _aW\ , dp (aw_am\ Apfau_arı _ 
2 -% ee za ehr 
Der durch diese Bedingung gegebenen partiellen Differentialgleichung 
vierter Ordnung müssen diejenigen Funetionen $ genügen, durch 
deren eonstante Werthe eine Fläche der besprochenen Familie :dar- 
gestellt wird. Sie ist daher die Differentialgleichung dieser Flächen- 
familie. 
Ist dagegen der Lauf einer Fläche derart bestimmt, dass die 
Coordinaten jedes Punktes derselben durch die Werthe zweier Variablen 
p,q gegeben sind, so transformirt sich 2 unter Berücksichtigung des 
Umstandes, dass die Differentialquotienten der Cosinus X, Y, Z linear 
durch die Differentialquotienten der entsprechenden Coordinaten aus- 
drückbar sind, sofort in die Form: 
2—= Map + Ndg, 
in weleher M, N Funetionen der sechs durch Gauss eingeführten 
Grössen E, F,G,D, .D, D’ und ihrer ersten Differentialquotienten sind. 
Die Bedingung, dass Q ein Totaldifferential sei, ist nunmehr 
m an 
eg ©p 
und. wenn sıe sich als erfüllt erweist, ist der Coöfficient A des, in 
