WeıErSTRAss: Zur Theorie der elliptischen Functionen. 1279 
Scheidet man von dem Gebiete der Veränderlichen 2 die der 
Strecke (1... + 00) angehörigen reellen Werthe aus, so ist  (f) eine 
eindeutige und continuirliche Function von f, welche ausserdem, dass 
ihr absoluter Betrag beständig kleiner als ı ist, die folgenden Eigen- 
schaften besitzt: 
ı. Sie hat einen reellen oder complexen Werth, je nachdem { 
reell oder complex ist. 
2. Im ersteren Falle stimmt ihr Zeichen mit dem Zeichen von 
{ überein. 
3. Für jeden complexen Werth von that Mre zweite Coordinate 
dasselbe Zeichen wie die zweite Coordinate von f. 
Das Erste ergiebt sich unmittelbar aus den Gleichungen 
4n-+1 
vo = est, — 
are de 
(0: O)\* | (+ YO +YWO+--- 5 
en) rt Ber rd) +...)" 
von denen .die erste zeigt, dass 4 (f) für die der Strecke (- © ...ı) 
angehörigen reellen Werthe von ? ebenfalls reell ist, die andere aber 
lehrt, dass umgekehrt, wenn X (f) einen reellen Werth hat, auch { 
reell ist und somit, unter der gemachten Annahme, zwischen — © 
und ı liegt. Aus der zweiten Gleichung erhellt ferner die Richtig- 
keit des unter (2.) Angegebenen. Das Dritte aber wird so bewiesen. 
Hr 
Für t=ı1 +3 ist Bid % also 
e> N 
Dep Aare? 3: 
BER SET ENT te — 
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und somit, da die y, sämmtlich positive Zahlen sind, U (f) gleich dem 
Produete aus i und einer positiven Grösse. .Von dem Werthe ı + 
aus kann aber Z stetig sich ändernd zu jedem anderen complexen 
Werthe 7,, dessen zweite Coordinate positiv ist, übergehen, ohne dabei 
einen reellen Werth anzunehmen; die zweite Coordinate von Y(d) 
ändert sich bei diesem Übergange stetig mit {, ohne den Werth Null 
anzunehmen (No.1.) und ist also für =, ebenso wie für !=ı+! 
positiv. In ganz ähnlicher Weise wird gezeigt, dass A (l) füri=ı-—i 
gleich dem Producte aus i und einer negativen Grösse ist, und daraus 
die Übereinstimmung des Zeichens der zweiten Coordinate von X (d 
mit dem Zeiehen der zweiten Coordinate ‚von f auch in dem Falle, 
wo die letztere negativ ist, gefolgert. Übrigens ergiebt sich aus der 
