﻿66 On the Expansion of a Function. 



Again 



log»(l + a ?)-3f X ]og«(l + *) T ^- 



"q -1- "T it- 



/»->.' ao .9.00+2 an <m 



= 3l| 2 (-l) ao - 2 — i. T 2 (-1> 



J 00=0 « +^ ai=0 «l+l a 2 = 



/»* ao 00 r a : ,+ai+2 ao \ 



= :-J!J 2 2 (-1)*^ ''— -— 2 — -y/.r. 



.JO «o=0 a 2 =0 «U+^ 01=0*1 + - 1 



Letting a + « 2 = p\ we have 



^«^ 



Log»(i+«)=3ir 2 1 (-i)' 



"0 o =0 0=o o 



,0 + 2 a, 



«o + 2 ai =o «i + l 



00 _ #0+3 o, 1 



%r 0ai Jo l L ' (a +2);y3+a) ai to«i + l 

 Writing a for /3, a x for a , a 2 ^ or a b then 



00 n.ao+3 a 1 ai 



3og 3 (l + c«) =3! 2 (-l) a °- — * 2 — -> 2 — rr 



7 ,a +3 / 2 a /3-l^ 



3! 



ao 



We now assume 



r o +3 / 2 j8-l\ 



! 2 (-l) ao - .(17 2 )-— — -5. . .'4) 



a =0 «0 + 3\^ = l a a =0/ apTO—P 



oo r a +Ji /»— 1 /3-l\ 



log»(l+«) =n! 2 (-1)-^— (H 2 ) _, R . 



ao =o a + »Wi« fl =o/^ + n-^ 



(5) 



Th 



en 



log*" (1+*) = (n + 1) f X log»(l + *)^- 



Jo 1 + A ' 



/** 00 r oo+» /»-l a /3-]\ 1 



= (n+l)!l 2 (-l)«o±— (n 2 ) _ L 1 Q 2 (-l)w^ 



Jo o =0 «o + ™\/3=i aj8 =o/ «j8 + «— yS y=0 



('* oo 00 , «.oo+y+»/»i-l a |8-l\ 1 



2 2 (-ir +y ——-( 17 2 )— - /Q cU. 

 , oo=0 y=0 *Q+n \ p=1 a /3 =0/« j8 +^— P 



Letting a -f y — g ? then 



i ,1 ,„ r^ * 00 . ,.*+» /M-i a /3-i\ 1 



,'0 ao=05=a «0+ W \0=1 <y=0/ *0 + H ~ P 



00 5 r o + )i+l /»— 1 a 0-l\ 1 



= («+l)!2 2 (-1)' ± ' , -rJn 2 ) _/ - . 



