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assi coordinati) si prestano, come vedremo, a far l'ufficio di elementi ca- 

 ratteristici rispetto a un campo vettoriale. Ricorderò intanto che, per teo- 

 remi noti, l'essere g=0, oppure # = (ossia |VA| = 0, oppure |VA| — 0) 

 in tutto un campo % rappresenta rispettivamente la condizione necessaria 

 e sufficiente perché il vettore A ammetta una funzione potenziale (p, talché 

 si abbia A = — V<£>, nel qual caso A prende il nome di vettore potenziale; 

 oppure ammetta un vettore (J da cui esso derivi come vorticale, talché si 

 abbia A = |VQ|, e in questo caso A si chiamerà vettore solenoidale, e a Q, 

 considerato rispetto ad A, io darò il nome di girante. Va notato poi che 

 in questo caso dei giranti Q ne esistono infiniti ; poiché trovatone uno, tutti 

 i vettori che si deducono da quello coli' aggiunta di un qualunque vettore 

 potenziale avranno pure lo stesso vorticale A (giacché il vorticale del vet- 

 tore aggiunto é nullo). — Un vettore può anche essere potenziale e sole- 

 noidale a un tempo, quando si abbia a un tempo g = e = 0; e allora 

 esso può rappresentarsi tanto con — V(p quanto con jVQj: un vettore sif- 

 fatto si chiamerà qui isodromo. — Nel caso generale poi, quando cioè 6 e g 

 sieno qualunque, il vettore A può sempre decomporsi nella somma di due 

 vettori F e G l'uno potenziale e l'altro solenoidale. Poiché denotando con <p 



una qualunque funzione che soddisfi all' equazione — % -+- — -~ -+- — ^ = — d e 



vx~ cy o£ 



posto F = — V<p (onde viene |VF| = 0), basta prendere G = A — F; e 

 si avrà |VG| = 0, e quindi A === F -+- G con F potenziale e G solenoidale. 

 Questa decomposizione può farsi pertanto in infiniti modi. 



3. Dall'applicazione ripetuta del V risultano formazioni differenziali del 

 2° ordine che hanno pure importanza. — Quando l'operando é uno sca- 

 lare (p, si ha dapprima il vettore V<£) di cui con una seconda applicazione 

 nelle due forme |V-V<^|, |V«V<^| si hanno rispettivamente la divergenza e 

 il vorticale. Ma essendo nullo quest'ultimo per la proprietà dei vettori po- 

 tenziali, resta |V-V<^[. Ora si ha 



\V-V<p\ = V,.V 1? 5 -+- V/7rf -+- V 3 .V 3 <? = g -h + j =Vf 



dove V 2 indica l'operazione che consiste nel prendere la somma delle de- 

 rivate seconde e che corrisponde al prodotto scalare |VV| del vettore sim- 

 bolico V per sé stesso. Il V 2 si presenta cosi come un operatore scalare 

 del 2° ordine. 



Come tale esso é applicabile anche ad un vettore, e abbiamo per tal 

 modo in V 2 A (= ÌV 2 A 1 -+- jV 2 yl 2 -f-kVM 3 ) una delle formazioni differen- 

 ziali del 2° ordine risultanti dall' applicazione doppia del V ad un vet- 

 tore A. Per trovare le altre, osservo che partendo dallo scalare 0=|VA| 



