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5. Lo stesso metodo si applica alle relazioni fra integrali di superfìcie 

 e integrali di contorno lineare. Partendo anche qui dalla nota formola 



J(pdx =Jl-¥- cos {ny) — -^- cos{nz)\d(j 



che serve a trasformare l'integrale fcpdx esteso ad un contorno lineare 

 in un integrale esteso ad una superfìcie limitata dal medesimo, ed asso- 

 ciandovi le due analoghe che si ottengono con permutazione circolare, si 

 risale all'equazione vettoriale 



(12) f$d$ —f\n-V<p\d(i = 



dove e/s é il vettore rappresentato dall'arco elementare del contorno, n è 

 un vettore unitario preso nella direzione della normale elevata sopra una 

 delle facce della superficie (che si suppone avere due facce distinte), e la 

 direzione di ds é tale rispetto a quella di il, che il vettore jndsj sia diretto 

 verso l'interno dell'area racchiusa dal contorno. 



Da questa estraendo <p, si rileva come sopra la generatrice vettoriale 



(d) (fds J&rjnVj • • •) = 



la quale mentre con uno scalare (p riproduce la (12), con un vettore A 

 fornisce le altre due equazioni 



<12)« . /|Ads| — /|{nVjA|d<r = 



(12), /jActej -+-Jl|nVjAjd<7 = 



che trasformando ||nVjA|, jJnVjAj colle (4) possono prendere altre forme: 

 cosi per es. la prima può scriversi 



(12% J|Ads| =f\n\VA\\d(T =f\ng\da . 



Ponendo poi uguali a zero gl'integrali di contorno, ciascuna di queste 

 equazioni fornisce una relazione valevole per ogni superfìcie chiusa. 



Ed ora procedendo da queste si potrebbe come sopra dedurre altre 

 equazioni. — Arrestandomi qui, osservo che le precedenti equazioni sca- 

 lari (che son quelle distinte coli' indice a) e le componenti scalari delle 

 vettoriali corrispondono alcune a forinole notissime. Cosi per es. la (l) a e 

 le componenti delle (8'), (8") e (10) appartengono al gruppo del teorema 

 di Green, la (12')« ci rappresenta il teorema di Stokes, ecc. Altre sono 



