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meno note, ma potrebbero dedursi anch'esse senza difficoltà coli' ordinario 

 metodo cartesiano. Se non che la forma vettoriale e il metodo di dedu- 

 zione qui seguito presentano dei vantaggi, se non altro dal lato della con- 

 cisione e della speditezza. E poi la forma vettoriale appare in certi casi, 

 dirò cosi, più suggestiva mettendo meglio in rilievo il carattere delle rela- 

 zioni e additando la via alle trasformazioni e applicazioni. 



6. È qui il posto per alcune osservazioni utili per il seguito, che si 

 collegano alle equazioni (6) a e (12) . 



Si ha dalla seconda di queste che l'essere g = in tutto un campo x 

 rappresenta la condizione necessaria e sufficiente affinché l'integrale /|Ae?sf 

 sia uguale a zero per qualsiasi contorno completo, cioè per ogni linea 

 chiusa, o sistema di linee chiuse, tale da poter costituire il contorno com- 

 pleto di una superficie tutta contenuta in r, d'onde segue che A ammette 

 una funzione potenziale, che però può essere polidroma. Perché questa sia 

 monodroma occorre invece che /|Ad§| sia uguale a zero per ogni singola 

 linea chiusa; e per questo è condizione necessaria ma non sufficiente che 

 sia g = in tutto il campo, richiedendosi inoltre che ogni singola linea 

 chiusa faccia contorno (intendendo con questa espressione abbreviata che 

 essa linea possa da sé costituire il contorno completo di una superficie 

 tutta contenuta nel campo). Questo si verifica quando il campo % é sem- 

 plicemente connesso, e allora la condizione g = implica da sola l'esi- 

 stenza di una funzione potenziale monodroma ; ma volendo stare in ge- 

 nerale, conviene assumere a condizione necessaria e sufficiente per l'esi- 

 stenza di una tal funzione potenziale monodroma, quella che si é detto : 

 che, cioè, /|Ads| sia nullo per ogni singola linea chiusa comunque tracciata 

 nel campo. 



Considerazioni analoghe si presentano rispetto alla condizione 6 = 

 e alla conseguente esistenza di un girante: L'essere # = in tutto il 

 campo rappresenta, a senso dell'equazione (6) a , la condizione necessaria 

 e sufficiente affinché l'integrale /|nA|cfo- sia uguale a zero per ogni con- 

 torno superficiale completo, cioè per ogni superficie chiusa, o sistema di 

 superfìcie chiuse, tale da limitare completamente una porzione di spazio 

 tutta compresa in r ; ed implica si l' esistenza di un girante, ma questo 

 può avere delle discontinuità. Perchè A ammetta un girante continuo 

 in tutto t, occorre invece che /|nA|cfcr sia uguale a zero per ogni singola 

 superficie chiusa, e per questo l'essere = è condizione necessaria ma 

 non sufficiente, occorrendo inoltre che ogni singola superficie chiusa faccia 

 contorno (costituisca da sé il contorno completo di una porzione di spazio 

 tutta compresa nel campo). Questo si verifica quando lo spazio % è sem- 

 plicemente connesso, e allora la condizione 6 = implica da sola Tesi- 



