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 lunque pezzo o c della superfìcie a limitato da una linea chiusa e : 



^/|Gc?s| = /|n-V^|cto -t-^ylng'lrfo-, y|Ge?s| = /|n-V^|cfo- 



(e) (<r) (a) (a) 



da cui sottraendo e riducendo la differenza G — G ossia jVUj — |VU| col- 

 la (17 r "), risulta 



r (<0 r r (a) (a-) 



(19) 7|ng|c?o- -H/'[jnh|ds.| = — J(|n-V^| — |u-V^)cfo- 



dalla quale per ^ = si ha 



(19') J\ \\i\d(j -+-/ì|nli|rfs| = . 



Il significato di questa relazione in unione colle altre due condizioni 

 predette, dell'essere g solenoidale (|Vg| = 0) e li tangenziale (|nli| = 0), può 

 venire illustrato con un'immagine idrodinamica. Il vettore g, come ogni 

 altro vettore, può intendersi rappresentare la velocità di un fluido incom- 

 pressibile in moto; la condizione |Vg| = significa allora che non esi- 



r {a ì 

 stono nel campo regioni sorgive, e l'espressione —j\ng\da rappresenta la 



corrente affluente dall'interno verso o c . Se ora s'immagina che anche li 

 rappresenti sopra a la velocità di un fluido incompressibile, che per es- 

 sere |nlij = si muoverà in correnti puramente superficiali, l'espressione 

 — /[jillljcte] viene a rappresentare la corrente superficiale uscente da a c attra- 

 verso e (poiché |jnlije?s| rappresenta il prodotto della grandezza ds dell'arco 

 per la componente di li normale a n e a ds, ossia il flusso di li attraverso c?s). 

 Talché la (19 f ) viene a significare che la corrente (g) affluente dall'interno 

 verso cr c é uguale alla corrente (li) uscente da a c attraverso e, e l'insieme 

 delle equazioni |Vg| = 0, |nh| = e (19 r ), che sono conseguenza dell'es- 

 sere 1^ = 0, significa che il sistema delle correnti interne e superficiali re- 

 lative ai vettori g e li é un sistema chiuso o rientrante. — Reciprocamente 

 è facile vedere che se, diciam cosi brevemente, il sistema (g, li) è chiuso, 

 ossia son verificate le condizioni |Vg| = in x e |nh|=0 sopra a insieme 

 con la (19'), deve essere-in tutto lo spazio ^ = 0, ossia | VU | = 0. — Infatti 

 la funzione y che per la natura dell'espressione (16) di U é continua e 

 regolare in tutto lo spazio x e in tutto lo spazio esterno x' , e si annulla 

 all'infinito; se |Vg| = 0, soddisfa per le (18) all'equazione V 2 ^ = dap- 

 pertutto; se |nii| = 0, essa per la (17") é continua attraverso a ; e se é 

 soddisfatta la (19'), sarà per la (19) anche |n-V/p| continua attraverso a: e 

 in tali condizioni, come si sa, iq non può essere che nulla. — Si conclude 



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