— 26 — 



adunque che l'essere |VU| = in tutto lo spazio rappresenta la condi- 

 zione necessaria e sufficiente affinché il sistema (g, li) sia chiuso, cioè 

 equivale al sistema di condizioni |Vg| = 0, | nli | = e (19'). 



K Ritornando ora al nostro caso di sopra (n.° 7), osservo che per 

 essere quivi g = |VA|, ]i = jnAj, le dette condizioni risultano verificate di 

 per sé, come è facile constatare ; al che corrisponde appunto la (15). 



E in ordine alle discontinuità dei vettori — -VZ e jVSJj rappresentate in 

 generale dalle (17') e (17"'), e affettanti rispettivamente la sola compo- 

 nente normale e la sola componente tangenziale, osservo che la somma 

 — V#-t-jVU| viene quivi per effetto di esse a diminuire di 



ii£ — jnhj = n|nA| — jnjnAjj = A 



talché dal valore A dell'interno si passa al valore all'esterno, dove i 

 due vettori — V% e jVXJS a senso della (14') sono uguali e contrarli. 



Dall'essere poi in tutto lo spazio esterno jVUj=V#, segue che Zeli 

 sono in t' subordinati l'uno all'altro: e poiché i valori di % e U in t si 

 riattaccano con continuità lungo a ai valori in t' , ne risulta anche per 

 l'interno una dipendenza: onde assegnato l'uno, per es. U, per mezzo 

 degli elementi g e li, ossia jVAj e \nk\, ad esso relativi, ne viene un con- 

 tributo per la determinazione dell' altro, per la quale non occorre più la 

 conoscenza completa degli altri elementi dee, ossia |VA| e |nA|. Ciò si 

 accorda con quanto si vide: che, cioè, le espressioni (16) di % e U con- 

 tengono più di quanto occorre alla determinazione di A ; e ci addita la 

 possibilità di ridurre questa determinazione a dipendere da una parte sol- 

 tanto dei detti elementi. 



Precisiamo anzitutto quale essa sia dimostrando direttamente che in uno 

 spazio semplicemente connesso alla completa determinazione di un campo 

 vettoriale A basta che, oltre i valori di 6 e g nel campo, sieno dati i soli 

 valori di e, oppure i soli valori di 11 sul contorno. Per questo basta di- 

 mostrare che un vettore isodromo li (|VH| = jVHj = 0) assoggettato 

 alla condizione che sia dappertutto |nH| = 0, oppure jiìKj — 0, non può, 

 sia nell'uno come nell'altro caso, che esser nullo. Ora H per la sua na- 

 tura potrà rappresentarsi tanto a mezzo di una funzione potenziale (p con 

 H = — V(p, come a mezzo di un girante Q con H = |VQ|: talché ap- 

 plicando in corrispondenza la formola (ll') a del n.° 4, si avrà neh' un caso 

 o nell'altro rispettivamente 



jH 2 dx = f<pedcr con e = | nH | 

 jHHx =J' ì (^\i\da con li = 



