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 onde risulta jVG| = g in t e |VGj = in t'. — Sopra a, G é discontinuo 



(a) (a-) 



e si ha (17'") G — G = — |nli( . — Dall'essere poi JVG| = in x' segue 

 che G ammette quivi una funzione potenziale che chiamerò ip e che sarà 

 completamente definita (a meno di una costante senza influenza, che del 

 resto può togliersi aggiungendo la condizione che ìp sia nulla all'infinito). 

 Si consideri quindi in x il vettore F definito dalle condizioni 



(a) (a-) 



[VE| = 0, |VFj = 0, |nFj = — jnGj 



di cui la seconda assegna ad F una funzione potenziale X che per la 

 prima condizione deve soddisfare in x all'equazione V 2 Z = — 6, e per 

 la terza deve soddisfare sul contorno all'equazione |ii«VZ| = — Jìl-VtpJ la 

 quale porta che i valori di % sieno, a meno di una costante, uguali a quelli 

 di — ìp sul contorno. Con ciò la % resta determinata a meno di una co- 

 stante, e quindi F resta completamente determinato. — Ed ora si avrà in x 



A = F-+-G. 



Infatti questa dà in x 



|VÀ| = |VF| = 0, |VA| = |VGì = g 

 e sopra a 



(a) (a) (a) (a-) 



jnAj = [nF j ■+■ jnG | = |n(G — G )| 

 cioè per la (17'") 



inA| = — |n|nh|| = h 



poiché per essere |nli[ = e per la relazione generale li = n|llli| — jlljnllj| 

 il valore di — |njnlijj si riduce ad li. — Qui la soluzione del problema é 

 ricondotta, come si vede, alla determinazione di una funzione % di cui é 

 dato il valore di V 2 # nel campo e sono dati, a meno di una costante, i 

 valori sul contorno. La funzione % cosi definita non può, nello spazio x, 

 differire che per una costante dalla funzione omonima che compariva nella 

 rappresentazione data pel vettore A al n.° 7, e se si considera la conti- 

 nuazione di % nello spazio esterno x' con % = — ìp e si pone la condi- 

 zione dell'annullarsi all'infinito, essa % si identifica evidentemente con 

 quella. 



Esaminerò qui pure il caso che x non sia semplicemente connesso: È 

 facile vedere che la ìp suddetta resta ad ogni modo monodroma, poiché 

 per qualunque linea chiusa X' tracciata in x' si ha J^,|Gds[ — 0, anche se 

 essa non fa contorno, vale a dire se qualunque superficie a condotta per 

 essa deve necessariamente attraversare in parte lo spazio x. Denotando 



