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porta l'eguaglianza delle componenti tangenziali prese con segno opposto, 



r (3 ' i 

 si può sostituire l'integrale I [Gc?s! che per quanto si é visto ora é nullo: 



r Y 



e però sarà anche / |Fc?s; = come si era detto. 



Essendo adunque ambedue le funzioni ip e % monodrome, la soluzione 

 è unica; ed A risulta ad ogni modo completamente determinato per mezzo 

 di 6 e g nel campo e di li sul contorno, qualunque sia lo spazio r. E del 

 resto, riportandoci alla rappresentazione di A data al n.° 7, dove la % per 

 la sua forma stessa era essenzialmente monodroma, si capisce che non 

 poteva essere diversamente: ma il processo che ci ha servito qui a dimo- 

 strare direttamente la monodromia ci sarà utile per la questione che ora 

 ci resta a trattare. 



13. Tale questione si presenta qui naturalmente ed è questa : Se gli 

 elementi che abbiamo dimostrato essere sufficienti a caratterizzare un 

 campo vettoriale sieno assegnabili ad arbitrio ; cioè : se, prefìssati a pia- 

 cere dei valori per i medesimi, esista in ogni caso veramente il campo 

 corrispondente. 



Ora a tal proposito osserverò in primo luogo che quando 6, g, e, li 

 appartengono veramente ad un medesimo campo vettoriale A, cioè si ha 

 nel campo = |VA|, g = jVAj e sul contorno e = |nA|, h = jiiAj, essi 

 soddisfano necessariamente a certe condizioni. Cosi si hanno fra Q ed s 

 e fra g ed li le relazioni /deh -\-feda = , fgdz -{-fììda = date dalla (6)«, 

 (6)& ; ma per g e li si hanno altre equazioni di condizione, in cui poi ri- 

 sulta inclusa implicitamente anche la precedente. Esse sono in primo luogo 

 le equazioni |Vg| = 0, |nll| = e (19') le quali, come si disse facendo uso 

 dell'immagine idrodinamica, esprimono che il sistema (g, li) é chiuso, e 

 si riassumono nell'equazione unica |VU| = 0, dove per U va posta l'espres- 

 sione (16). Ma vi ha inoltre un'altra relazione cui g e II devono soddi- 

 sfare, ed é la (21) stabilita nel numero precedente, di significato affine ma 

 pur ben distinto da quello della (19') che ha la stessa forma. Giova notarne 

 qui la differenza, servendoci della stessa immagine : La (19') si riferisce 

 ad un pezzo g c della superfìcie terminale a, limitata da una linea chiusa e, 

 ed esprime che la corrente (g) affluente a a c dall'interno é uguale alla 

 corrente superficiale (li) uscente da a c attraverso e ; e facendo parte delle 

 condizioni perchè il sistema (g, li) sia chiuso, è inclusa nell'equazione 

 |VU| = 0. La (21) invece si riferisce alla porzione interna di una super- 

 fìcie trasversa a ed alla linea y d' intersezione con a, ed esprime che la 

 corrente interna (g) che attraversa a è uguale e contraria alla corrente 

 superficiale (li) che sopra a attraversa la linea y, talché insomma la cor- 

 rente totale che attraversa a risulta uguale a zero. Essa non é inclusa 



