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come l'altra nella condizione |VU| = esprimente che il sistema (g, li) è 

 chiuso, in quanto che, nel caso in cui y considerato nello spazio x' non 

 fa contorno, può benissimo il sistema (g, lì) essere chiuso e la corrente 

 totale attraverso a essere tuttavia diversa da zero, giacché la sezione fatta 

 da a in x non lo divide in due pezzi distinti e la corrente che attraversa a 

 ha ancora la via per chiudersi lungo x e a, come appare per es. evidente 

 nel caso in cui lo spazio x rappresenti un anello. Dalla (20) si vede poi 

 che l'equazione in discorso rappresenta la condizione affinché fi Gote I sia 



uguale a zero per qualunque linea chiusa A' tracciata comunque in x', e 

 quindi il vettore G ossia jVUj ammetta in x' una funzione potenziale <p 

 monodroma. 



Ciò posto, s'intende che se i valori prefissi di 6, g ed s, oppure di 6, 

 g ed lì non son tali da soddisfare alle relazioni predette, ad essi non può 

 corrispondere nessun campo vettoriale A. Viceversa è facile vedere che se 

 essi sono tali da soddisfare alle medesime, il detto campo esisterà e si 

 potrà determinare in ambedue i casi allo stesso modo che si é visto di 

 sopra ; poiché non vi ha che ripetere i ragionamenti fatti, i quali, quando 

 sono verificate le relazioni predette, valgono ancora pienamente. Dicendo 

 però che esisterà, non intendiamo escludere le riserve relative alla validità 

 del- principio di Dirichlet: poiché la determinazione di A é ricondotta 

 a dipendere appunto dalla soluzione del problema di Dirichlet nella 

 sua doppia forma. — ■ Ad ogni modo, data la difficoltà che presenta in ge- 

 nerale un tale problema, si capisce come la ricerca dell'espressione effet- 

 tiva di A in funzione dei soli elementi 0, g, e, oppure 6, g, 11, debba anche 

 essa il più delle volte riuscir malagevole. 



14. Notevole per semplicità è invece la rappresentazione di A data al 

 n.° 7 a mezzo delle espressioni (16) di ZeU coli' intervento di tutti quat- 

 tro gli elementi 6, g, e, Il appartenenti al medesimo : dove — VX e jVUj 

 evidentemente coincidono coi vettori F e G dei n. 1 11. e 12. 



La decomposizione di un vettore A in due parti, l'una potenziale e 

 l'altra solenoidale può farsi, come sappiamo, in infiniti modi; poiché detto 

 lì un qualunque vettore isodromo che si consideri nel campo t, si può 

 sempre aggiungere H ad una parte togliendolo all'altra parte. Ma la de- 

 composizione nelle due parti F e G definita come sopra, che chiamerò 

 decomposizione normale, ha questo di speciale : che essa é la sola in cui 

 F dipende solo da 6 ed e, e G solo da g e lì ; e di più, qualunque sia 

 lo spazio t, la funzione potenziale X della prima parte è sempre mono- 

 droma e il girante della seconda parte, o potenziale vettore U, è sempre 

 continuo, come appare dalle espressioni (16). Segue di qui in particolare 



