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segno. — Le formazioni del 2° tipo sono scalari e sono tutte e tre eguali 

 fra loro, si ha cioè : 



(1) |A|AA"j| = | A'|A"A}| = |A"|AA'|| 



poiché ognuna é data dallo sviluppo del determinante delle componenti 

 scalari, che rappresenta il volume del parallelepipedo avente A, A', A" 

 per costole. Quelle del 1° e del 3° tipo sono invece vettoriali, e tanto le 

 une come le altre sono tutte e tre differenti ; ma si ha fra le une e le altre 

 la relazione 



(2) {A|A'A"|j=A'|A"A|— A"|AA'| 



con altre due analoghe che si ottengono da questa permutando. Tutte que- 

 ste proprietà si deducono facilmente dalle definizioni date. 



Avendosi dei vettori la cui grandezza e direzione variino dipendente- 

 mente da altre quantità, che siano cioè funzioni di una o più variabili in- 

 dipendenti e le cui componenti sieno quindi funzioni scalari della variabile 

 o delle variabili in discorso (che supporremo scalari), si viene, nell'ipotesi 

 che tali funzioni siano continue e derivabili, al concetto di derivata geo- 

 metrica e di differenziale geometrico dei vettori. — Se infatti per un vet- 

 tore A si indica con A' uno stato vicino cui si arriva con un accresci- 

 mento A£ dato alla variabile 2;, la differenza 



come pure 



A— A = \{A\ - A,) -+- &A\ — A 2 ) -+- ìl(A' 3 — A 3 ) 



A. — — A. . Ai — Ai . Ao — Ao , Ao — Ai 



-! AE -»-J AS -*-t- 



A£ A£ J A£ * A£ 



rappresentano dei vettori, di cui il secondo al limite per A£=0 viene ad 

 avere per componenti le derivate di A v A 2 , A 3 rapporto a £, e si riduce 

 appunto alla derivata geometrica di A rapporto a £ : onde si può scrivere 



dA __ ,dA l ,dA 2 - t dA i 



d£~' 1 W~ h} ~dZ^~ W 



e questo vale tanto nel caso di una sola variabile come in quello di più 

 variabili, riferendosi allora alle derivate parziali. Corrispondentemente, si 

 ha il differenziale geometrico 



dk = ÌdA 1 -f- ff jcL4 2 -h kdA 



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