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Pei differenziali delle formazioni binarie <pA, |AÀ'|, |AA'| si ha, come 

 é facile vedere : 



d-(pA = d(p-A -+- (p-dA. 



d|AÀ'| = |dÀ-A'|H-|A-dA'| 



djAA'j = idA-A'l H- {A-dA'j 



conforme alla regola di differenziazione dei prodotti ordinarli ; e analoga- 

 mente per le derivate. 



2. — Ciò premesso, vengo ad occuparmi propriamente dei campi vet- 

 toriali, vale a dire dei vettori riguardati come funzioni dei punti dello 

 spazio, cioè delle coordinate, talché ad ogni punto (oc, y, s) della regione 

 che si considera s' intenda corrispondere una determinata grandezza ed 

 una determinata direzione del vettore, variabili con continuità da punto a 

 punto. Le componenti del vettore saranno funzioni scalari delle oc, y, s, 

 che supponiamo sempre regolari (cioè finite, continue, ad un sol valore 

 e aventi le derivate prime finite, determinate ed atte all' integrazione) e- 

 scludendo all'occorrenza gl'intorni dei punti, delle linee o delle superfìcie 

 dove tali caratteri vengano meno. 



Indicherò in generale con t lo spazio (che di regola si suppone con- 

 nesso) in cui si considera la distribuzione del vettore, e con a il suo con- 

 torno, che può essere costituito da una o più superfìcie chiuse, comprese 

 eventualmente quelle che escludono gì' intorni predetti ; e assoderò ad esso 

 la considerazione dello spazio complementare t' tale che t -+- 1' rappresenti 

 l' intero spazio, cui si dà per contorno una superficie sferica 2 col centro 

 in un punto qualsivoglia a distanza finita e di raggio R avente per limite 

 T infinito. — Quando a è semplice, cioè consta di una sola superficie, z' 

 risulta esterno are compreso fra a e 2, oppure viene a mancare qualora 

 % comprenda tutto lo spazio, a riducendosi a 2 ; quando invece a é mul- 

 tiplo, fra le diverse superfìcie che lo costituiscono ve n' ha una esterna cr e 

 che abbraccia tutte le altre ai ciascuna delle quali racchiude una porzione 

 distinta dello spazio r', mentre un' altra porzione si stende al di fuori di 

 a e , fra a e e 2, e questa può come sopra venire a mancare qualora a e si 

 riduca a 2 cioè % si estenda all' infinito costituendo lo spazio esterno al 

 sistema delle Oi. Nel primo caso, di a semplice, qualunque superficie chiusa 

 che s' immagini tracciata in x serve ad isolarne o staccarne una parte di 

 cui forma il contorno completo; nel secondo caso, invece, ciò non ha più 

 luogo ove una tal superficie abbracci una o più delle a iì che allora a 

 formare il detto contorno deve concorrere la u\ o il gruppo delle o*,- che 

 sta dentro, o altra superficie o sistema di superficie che le comprenda. 



Lo spazio t può essere semplicemente connesso o a connessione multipla. 



