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nel caso che per 1 si prenda la congiungente di due punti infinitamente 

 vicini, al differenziale; e il secondo é un operatore vettoriale, affine al V, 

 di componenti (/ 2 V 3 — / 3 V 2 ).... — Se l'operando è uno scalare (p, le formazioni 

 |1V|0, |lVj$ equivalgono evidentemente ai prodotti |1.V$|, jl.V^j di 1 col 

 vettore V<p; se invece l'operando é un vettore À, si ha da |1V| la forma- 

 zione vettoriale jlV|A, e da |1V| si hanno due formazioni ||1V|A|, 

 jjlVjAj 1' una scalare e l'altra vettoriale. 



Per mezzo delle relazioni (1), (2) e coli' applicazione del suddetto prin- 

 cipio si ottengono le seguenti relazioni differenziali le quali, mentre servono 

 a ricondurre le tre ultime formazioni al semplice operatore V, forniscono 

 un mezzo comodo per molteplici trasformazioni. 



/ |1V|A = V|1A| — {l|VAj| = l|VA| — |'V|lA|j 

 (3) ||1V|A| = |1{VA|| = -|V|1A!| 



! J|1V|A| = V|1A| — l|VA| = {l|VAj| — jV{lA}|. 



Tanto per il V quanto per |1V| e |1V|, quando l'operando é un pro- 

 dotto binario, vale la regola : che la formazione risultante è la somma 

 delle due che si ottengono riguardando nell'operazione come costante prima 

 P uno e poi F altro dei due fattori dell' operando. — Cosi p. es. se questo 

 é il prodotto <p<p', si ha evidentemente 



V(p<p'=V(p-(p'-h<pV<p' 



e analogamente per |1V|^' e \YV\(p(p'. Allo stesso modo si ha per il 

 prodotto (pA. 



|V-0A| = | V<£-A| -+- <p\ VA| , | V-0AJ = \V(p-A\ ■+- <£|VA| 

 e analogamente per |1V|^A, |jlV|<^A|, \\W\(pA\ . 



Dall' applicazione ripetuta del V risultano formazioni differenziali del 

 2° ordine che pure dobbiamo cosiderare. 



Quando l'operando é uno scalare (p, si ha dapprima il vettore V<£> di 

 cui con una seconda applicazione, nelle due forme | V.V$| e [V.V^j si avreb- 

 bero rispettivamente la divergenza ed il vorticale. Ma si ha \V.V(p\ — {Wj <p = 0, 

 poiché jVVJ come vettor-prodotto di due vettori coincidenti é formalmente 

 nullo : e del resto alla stessa conclusione si giunge osservando che il vor- 

 ticale di un vettore le cui componenti sono le derivate di una medesima 

 funzione è nullo per la definizione stessa di vorticale (§ 2). Resta quindi 

 soltanto |V-V$|. — Ora si ha 



|V.V0| = v,v,<? -+- v 2 .v 2 ? + v 3 .v 3? s =g + + g = ^ 



