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dove V 2 indica 1' operazione che consiste nel prendere la somma delle de- 

 rivate seconde e che corrisponde al prodotto scalare | W| del vettore sim- 

 bolico per sé stesso cioè al quadrato del tensore. Il V 2 , cui suol darsi il 

 nome di operatore di Laplace, si presenta cosi come un operatore sca- 

 lare del secondo ordine. 



Come tale, esso é applicabile anche ad un vettore; ed abbiamo per tal 

 modo in V 2 A(= ÌV 2 ^4 1 -+-jV 2 ^4 2 n-kVM 3 ) una delle formazioni del 2° ordine 

 risultanti dall'applicazione doppia del V ad un vettore A, pel quale qui 

 naturalmente si esige che le sue componenti ammettano le derivate se- 

 conde finite e determinate. — Per trovare le altre si osserva che partendo 

 dalla divergenza |VA| e dal vorticale jVAj, che provengono da una prima 

 applicazione, si avrebbe per una seconda applicazione V|VA| e rispettiva- 

 mente |VjVAj|, jVjVÀj}, di cui però |V}VAj|, equivalente (1) a ||W|A|, è 

 nulla ; e quindi restano le altre due. Onde si è condotti infine, per le for- 

 mazioni diverse possibili ad aversi mediante la doppia applicazione del V 

 ad un vettore, alle tre 



V 2 A, V|VA|, iVjVAjj. 

 Fra queste poi corre la relazione 



(4) iV|VAJi = V|VA|— V 2 A 



che risulta dalla (2) mercè del solito principio facendovi A' = A"=V ed 

 ordinando convenientemente, e che del resto è facile verificare. 



4. — Ciò che precede ci permette di dare raccolte in breve spazio e in 

 forma semplice le principali formole che servono per la discussione delle 

 proprietà dei campi, consistenti in relazioni fra integrali di spazio o di 

 superficie ed integrali estesi ai rispettivi contorni superficiali o lineari. — 

 Esse si deducono dalle due equazioni vettoriali tipiche 



(5) fVcpdv -hfncpda = 



(6) f\ n • V(p \da- —f(pd$ = 



dove nella prima l'integrale fV(pdz s'intende esteso ad una qualunque re- 

 gione dello spazio in cui é data la funzione scalare <p regolare, mentre 

 l'integrale fiKpdcr s'intende esteso alla superficie chiusa, o al sistema di 

 superfìcie chiuse, che limita la regione suddetta, dx e da stando qui e in 

 seguito ad indicare gli elementi di volume e di superficie e n denotando 

 un vettore unitario diretto secondo la normale a da nel verso che va al- 



