— 439 — 



superfìcie sferica col centro in p, applicare le formole al campo cosi mo- 

 dificato, il cui contorno consta del contorno primitivo e della superficie a , 

 e passare al limite facendo tendere quest'ultima a zero. Cosi operando si 

 trova che l'integrale relativo a cr svanisce e gl'integrali relativi allo spazio 



modificato hanno per limite i loro corrispondenti estesi allo spazio primi- 



1 

 tivo ; talché il risultato è quale si avrebbe facendo (p'—- senz'altro, cioè: 



-V(pdx -+-JV- ■ <pdt -t-f-iKpda — 



(9)„ /ì|VÀ|£fr+yìvì-À|dr-H/"ì|iiA|*F = 



(9). j\\^^W -+-f\VyA\dT +-f±\nA\da = . 



Per tutte queste equazioni le condizioni di validità si desumono ovvia- 

 mente dalle condizioni imposte alla (p nelle (5) e (6) da cui siamo partiti. 

 Nessuna restrizione è fatta riguardo ai contorni ed alle regioni o alle su- 

 perfìcie che essi limitano, se non quella di non uscire dal campo in cui 

 tali condizioni sono soddisfatte. 



Per le equazioni del primo tipo la regione considerata può costituire 

 una parte qualsiasi del campo ed anche l' intero campo. Come caso 

 limite si ha quello che vi sieno delle parti che si estendono all' infinito : 

 allora per la validità delle formole conviene aggiungere la condizione che 

 le quantità che vi compariscono sieno evanescenti all'infinito in modo che 

 le parti relative degli integrali svaniscano dal risultato o diano un contri- 

 buto finito e determinato. Accade spesso in particolare di avere per campo 

 tutto quanto lo spazio, oppure tutto lo spazio esterno ad una data super- 

 ficie, o sistema di superficie nel qual caso il contorno si riguarda come 

 costituito in tutto o in parte dalla superfìcie sferica 2 (§ 2). L' elemento 

 di questa potendo porsi sotto la forma R 2 do, dove do rappresenta il valore 

 angolare (elemento corrispondente della superficie sferica di raggio 1), ne 

 viene che la condizione suddetta, per ciò che riguarda gì' integrali estesi 

 a 2, sarà che il prodotto per B 2 delle quantità moltiplicate per da nell'ele- 

 mento dell' integrale sia evanescente o abbia un limite finito per R infinito. 



Un' altra osservazione giova fare riguardo all' eventuale esistenza nelle 

 regioni considerate di superficie di discontinuità per i valori delle quantità 

 che compariscono nelle formole. — Fra gì' integrali di contorno vi saranno 

 da comprendere in tal caso quelli estesi alle due facce di ognuna di dette 

 superfìcie, come limite dell' integrale esteso ad una superficie o ad un si- 

 stema di superficie che escluda dal campo l' intorno delle superficie di di- 

 serie V. — Tomo VII. 56 



