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scontinuità. Accoppiando i termini relativi agli elementi contrapposti si 

 può allora fare in guisa da avere un solo integrale in cui lo stesso da 

 trovasi moltiplicato per la somma (algebrica o geometrica) dei fattori che 

 gli competono su ciascuna delle due facce. — Alle superfìcie di disconti- 

 nuità giova spesso sostituire la considerazione degli strati di passaggio, 

 cioè degl' intorni delle superfìcie stesse riguardati come campo di varia- 

 zione rapida nella direzione della normale, di guisa che le quantità, pur 

 mantenendosi continue attraverso lo strato, presentino nei punti corrispon- 

 denti delle facce terminali valori differenti per un importo eguale a quello 

 delle discontinuità presunte. La sostituzione è legittimata dall'osservazione 

 che, se si applicano le formole alla regione rappresentata da cotali strati, 

 il valore degl' integrali di spazio ad essi relativi risulta uguale (al limite) 

 a quello degl' integrali calcolati come si è detto dianzi per le due facce 

 delle superficie di discontinuità, qualunque sia la legge con cui s'immagini 

 che avvenga la variazione, purché i valori terminali presentino le volute 

 differenze. Cosi nelle formole spariscono gl'integrali relativi alle superfìcie 

 di discontinuità, compensati dal contributo arrecato agi' integrali di spazio 

 dagli strati suddetti. 



5. — Fermiamoci ora a considerare la coppia di equazioni scalari (5) à 

 e (6) a le quali tradotte in forma cartesiana corrispondono a due formole 

 ben note, di cui la prima serve come lemma d'introduzione al teorema 

 di Green e la seconda ci esprime il teorema di Stokes; e che ci rap- 

 presentano in forma generale e precisa la relazione fra flusso e divergenza 

 e rispettivamente fra circuitazione e vorticale di cui fu fatto cenno al § 2. 



Infatti la (5) a ci esprime che il flusso uscente dal contorno di una re- 

 gione qualsiasi, espresso qui da — f\nk\dcr (essendo |nA| = -4« ed n rife- 

 rendosi qui alla normale interna) é uguale all' integrale f\ VA \dx o fddx 

 della divergenza; e similmente la (6) a ci esprime che la circuitazione /| Ac?s[ 

 per ogni contorno lineare completo é uguale al flusso /|n| VA \\da o /\ug\d(T 

 del vorticale attraverso una qualunque superficie limitata da quel contorno. 



Esse danno luogo ad altre considerazioni importanti. — Dalla (6) a si 

 vede che l'essere jVAj — 0, ossia g = 0, in tutto il campo rappresenta la 

 condizione necessaria e sufficiente affinché l' integrale J \ Ac?s | sia eguale a 

 zero per qualunque contorno completo di una superfìcie tutta contenuta 

 nel campo. Se questo é semplicemente connesso, ne viene, per le osser- 

 vazioni fatte nel citato § 2, che l' integrale suddetto sarà nullo per ogni 

 linea chiusa, e per ogni cammino tracciato fra due punti dati avrà un 

 valore dipendente solo dalla posizione di questi ed indipendente dal cam- 

 mino stesso : il che implica 1' esistenza per A di una funzione potenziale 

 <p finita, continua e a un sol valore. — Ma la cosa é diversa se si tratta 



