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dove % denota una funzione regolare insieme con le derivate prime, ma 

 del resto arbitraria : i quali adunque si deducono da Q' con 1' aggiunta di 

 una qualsiasi distribuzione lamellare, che ha, come tale, il vorticale nullo. 

 Se non che in questa dimostrazione si é ammesso tacitamente che 

 l'intervallo z z sulle parallele all'asse z lungo le quali sono presi gl'inte- 

 grali I A x dz , JA 2 dz, cioè il cammino per andare in linea retta dal punto 



(oc, y, z ) al punto (oc, y, z), sia sempre interamente compreso nel campo, 

 il che per certe forme del campo stesso può non accadere comunque 

 si scelga la direzione dell' asse z. Allora conviene dividere esso campo 

 in tante regioni r', z",... tali che per ciascuna di queste la detta con- 

 dizione sia soddisfatta, e determinare i corrispondenti giranti Q', Que- 

 relativi alle singole parti, i quali riesciranno in generale distinti. Onde 

 si può dire ancora che A ammette un girante in tutte le parti del 

 campo, ma questo può essere discontinuo ossia cangiare bruscamente at- 

 traverso le superfìcie che separano le parti t', t",... Ma è facile dimostrare 

 che la condizione necessaria e sufficiente affinché esista un girante Q con- 

 tinuo in tutto il campo, è che questo sia solenoidale puro, cioè che si 

 abbia /\ììA.\da = per qualunque superfìcie chiusa tutta contenuta nel me- 

 desimo. — Che la condizione sia necessaria apparisce subito osservando 

 che se un tal Q esiste, il valore dell'integrale /|nA|cfo- riducendosi a 

 /"[njVQ \\dcr, sarà per qualunque superfìcie aperta o porzione di superfìcie, 

 in virtù della (6'), esprimibile per /|Qds| esteso al suo contorno, e conse- 

 guentemente uguale a zero per ogni superfìcie chiusa. Che sia poi anche 

 sufficiente si prova mediante la considerazione seguente : — Siano r' e z" 

 due regioni confinanti per le quali esistano i rispettivi giranti continui 

 Q' e Q". Si tracci comecchessia una superfìcie chiusa a la quale penetri. 

 in ambedue le regioni e s' indichino con a' e a" le parti di essa apparte- 

 nenti a t' e t" e con e la linea d' intersezione di a con la superfìcie che 

 divide t' da t", linea che serve di contorno tanto a a' che a o - ". Essendo 

 in x- e r" rispettivamente A = |VQ'|, A = jVQ"|, abbiamo per la (6) a 



f\nk\da =/|Q'ds| , f\nk\da =/|Q"ds| 



a' e a" e 



da cui sommando e avvertendo che il contorno e nei due integrali è per- 

 corso in verso opposto, risulta 



JlnÀ|dcr=/l(Q'-<j")<fe| 



a e 



e poiché l' integrale del primo membro per ipotesi è sempre nullo, dovrà» 

 pure annullarsi l' integrale del secondo membro per qualunque linea chiusa. 



